函数三要素之值域篇・内功心法

美化版 前言

值域一道，如炼气成道：定义域为炼气之源，对应法则为运功之法，二者相济方能窥得 y 值真境。此心法分三重境界，需循序渐进打磨功力，切不可急于求成，否则易陷 “邪修”甚至“走火入魔” 之险。

第一重境界：寻源・固本培元，明值域之根

“无，名天地之始；有，名万物之母。”

定义域乃值域本源，如同炼气者必先寻得灵脉，求值域者必先锁定 x 之疆域，再随基础函数之性游走。

1. 线性灵脉：一次函数的 “直贯气脉” 一次函数$f(x) = kx + b$（$k \neq 0$）如笔直山道，气脉随斜率走向延伸：

例题1：已知$f(x) = 3x + 1$，$x \in \{ x \mid -1 \leq x \leq 1, x \in \mathbb{Z} \}$，求值域。 解答：定义域为$\{-1, 0, 1\}$，代入得$f(-1) = -2$，$f(0) = 1$，$f(1) = 4$，故值域为$\{-2, 1, 4\}$。

再如：已知$f(x) = kx + b$（$k \neq 0$），$x \in [m, n]$，求值域。

解答：
若$k > 0$，函数单调递增，值域为$[km + b, kn + b]$； 若$k < 0$，函数单调递减，值域为$[kn + b, km + b]$。

2. 反比例灵脉：双曲线的 “回旋气脉” 反比例函数$f(x) = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$）如漩涡灵脉，气脉绕原点回旋，定义域断点处气脉断裂：

例题2：已知$f(x) = \frac{k}{x}$（$k > 0$），分情况求值域：

（1）$x \in [1, 2]$：函数单调递减，值域为$\left[ \frac{k}{2}, k \right]$； （2）$x \in [-2, -1]$：函数单调递减，值域为$\left[ -k, -\frac{k}{2} \right]$； （3）$x \in \{ x \mid -3 < x < 1 \text{ 且 } x \neq 0 \}$：值域为$(-\infty, -\frac{k}{3}) \cup (k, +\infty)$； （4）$x \in \mathbb{R}$：值域为$(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$。

3. 抛物线灵脉：二次函数的 “聚气气脉” 二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）如拱顶灵穴，气脉聚于顶点：

例题3：已知$f(x) = x^2 - 2x - 3$，分情况求值域：

（1）$x \in [-2, 0]$：对称轴$x = 1$，区间内函数单调递减，值域为$[-3, 5]$； （2）$x \in [2, 3]$：对称轴$x = 1$，区间内函数单调递增，值域为$[-3, 0]$； （3）$x \in [-2, 2]$：对称轴$x = 1$，区间内函数先减后增，值域为$[-4, 5]$； （4）$x \in [-2, t]$：需分$t < 1$、$1 \leq t \leq 4$、$t > 4$讨论（结合对称轴与区间的位置）。

进阶：含参数的二次函数值域* 变式：求$y = x^2 - 2ax - 1$在区间$[0, 2]$上的最小值。 解答：对称轴为$x = a$，分三类讨论： 当$a < 0$时，函数在$[0, 2]$上递增，$y_{\text{min}} = f(0) = -1$； 当$0 \leq a \leq 2$时，函数在$[0, a]$递减、$[a, 2]$递增，$y_{\text{min}} = f(a) = -1 - a^2$； 当$a > 2$时，函数在$[0, 2]$上递减，$y_{\text{min}} = f(2) = 3 - 4a$。

4. 新组合灵脉：分段函数“合璧气脉“

分段函数是“多气脉组合”，各段值域聚集，取并集为整体值域。

例题4：已知$f(x) = \begin{cases} x + 2 & -2 \leq x \leq -1 \\ x^2 & -1 < x < 2 \\ 5 - \frac{1}{2}x & 2 \leq x \leq 3 \end{cases}$，求值域。 解答： 第一段$x \in [-2, -1]$：$f(x) \in [0, 1]$； 第二段$x \in (-1, 2)$：$f(x) \in [0, 4)$； 第三段$x \in [2, 3]$：$f(x) \in \left[ \frac{7}{2}, 4 \right]$； 合并值域：$[0, 4]$。

第二重境界：提炼・通经活络，掌值域之法

“道可道，非常道；名可名，非常名。”

基础气脉熟稔后，需提炼运功法门，让气脉沿固定路径攀升，终从 y 值之口流出。

5. 配方通脉法：二次函数的 “聚气诀” 适用于二次函数或可化为二次型的函数，通过配方锁定气脉聚点（顶点）： 步骤：先配方$f(x) = a(x - h)^2 + k$，再结合定义域判断顶点位置，确定气脉边界。 例题5：$f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 3} = \sqrt{(x - 1)^2 + 2}$，气脉聚于$(1, 2)$，最小值为$\sqrt{2}$，值域$[\sqrt{2}, +\infty)$。

如变为$f(x) = \sqrt{x^2 - 2x - 3}$，求$f(x)$值域呢？

更为深层次的问题是： 已知$f(x) = \sqrt{x^2 - ax + 2}$的值域为$[0, +\infty)$，求$a$的范围。

6. 分离固脉法：分式函数的 “分流诀” 形如$y = \frac{ax + b}{cx + d}$的函数，如同分叉气脉，需分离常数让主脉清晰： 变形：$y = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cx + d)}$，分式部分气脉不为零，故值域剔除常数项。 例题6：求$y = \frac{3x + 2}{x - 1}$的值域。 解答：分离常数得$y = 3 + \frac{5}{x - 1}$。 因$\frac{5}{x - 1} \neq 0$，故$y \neq 3$，值域为$(-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$。

7. 单调循脉法：增减函数的 “顺流诀”（待学习） 若函数在定义域内单调，气脉沿固定方向流动，端点即为气脉极值点： 例题7：$y = \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 - x}$，

定义域$[1, 3]$，$\sqrt{x - 1}$升、$\sqrt{3 - x}$降，气脉整体攀升，值域$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$。

第三重境界：化转・转脉换形，破复杂之局

“一生二，二生三，三生万物。”

复杂函数如交错脉网，需以换元为 “转脉符”，将杂乱气脉转为熟悉路径，循

行功线路图：$x \stackrel{t = m(x)}{\to} t \stackrel{y = u(t)}{\to} y$，线路贯通。（这非一日之功！） 核心法门：换元转脉术

遇含根式的函数，令根式为新元 t，褪去 “根式障”，化为二次或一次函数： 例：$y = x + \sqrt{2x - 1}$，

令$t = \sqrt{2x - 1}$（$t \geq 0$），则$x = \frac{t^2 + 1}{2}$，

气脉转为$y = \frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2}$，开口向上，在$t \geq 0$时，最小值$\frac{1}{2}$，

值域$[\frac{1}{2}, +\infty)$。

再如：$y = \frac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 2}$的值域。

第1步令$t = \sqrt{x}$ $x$范围$x \geq 0 \implies t$范围$t \geq 0$

第2步 $y = \frac{2t - 6}{t + 2}$，$t \geq 0$ $t$范围$t \geq 0 \implies y$范围 ？看不出来，怎么办？（借助于图）

奇经八脉：特殊法门补全功

8. 判别式脉：分式二次函数的 “断脉镜” 形如$y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f}$（分母无零点），将其化为关于 x 的二次方程，方程有解则判别式$\Delta \geq 0$，如同以镜照脉，锁定 y 的边界： 例题8：$y = \frac{x^2 - 2x - 1}{x^2}$值域，

整理为$(y - 1)x^2 + 2x + 1 = 0$，

$\Delta = 4 - 4(y - 1) \geq 0$，

解得$y \leq 2$，结合$x \neq 0$，值域$(-\infty, 2]$。

另解：它的本质是： $y = 1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}$ 令$\frac{1}{x} = t$，$\therefore t \neq 0$，转化为$y = -t^2 - 2t + 1$，$t \neq 0$

思考：若是$y = \frac{1}{x^2 - 2x + 1}$呢？

9. 反解固脉法：含分式的 “逆推诀” 对$y = \frac{ax + b}{cx + d}$，反解 x 为 y 的表达式，利用定义域限制 y 的范围： 例题9：$y = \frac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 2}$的值域。

反解$\sqrt{x}= \frac{2y +6}{2 - y} \geq 0$，解得值域$\left[ -3, 2 \right)$。

心法总诀 寻源先定 x 疆域，基础函数辨脉形； 提炼法门通经络，配方分离单调行； 化转换元破迷局，x到t到y 路分明； 奇经八脉补疏漏，判别反解定乾坤。 注：练此心法，需常以例题磨手，每解一题必验定义域，每换一元必明 t 范围，如此方能功力日深，求值域如探囊取物。