内功心法总纲
值域一道，如炼气成道：定义域为炼气之源，对应法则为运功之法，二者相济方能窥得 y 值真境。此心法分三重境界，需循序渐进打磨功力，切不可急于求成，否则易陷 "邪修"甚至"走火入魔" 之险。
第一重境界：寻源・固本培元，明值域之根
"无，名天地之始；有，名万物之母。"
定义域乃值域本源，如同炼气者必先寻得灵脉，求值域者必先锁定 x 之疆域，再随基础函数之性游走。
线性灵脉：一次函数的 "直贯气脉"
已知\( f(x) = 3x + 1 \)，\( x \in \{ x \mid -1 \leq x \leq 1, x \in \mathbb{Z} \} \)，求值域。
解答：定义域为\( \{-1, 0, 1\} \)，代入得\( f(-1) = -2 \)，\( f(0) = 1 \)，\( f(1) = 4 \)，故值域为\( \{-2, 1, 4\} \)。
反比例灵脉：双曲线的 "回旋气脉"
反比例函数\( f(x) = \frac{k}{x} \)（\( k \neq 0 \)）如漩涡灵脉，气脉绕原点回旋，定义域断点处气脉断裂。
已知\( f(x) = \frac{k}{x} \)（\( k > 0 \)），分情况求值域：
- \( x \in [1, 2] \)：函数单调递减，值域为\( \left[ \frac{k}{2}, k \right] \)
- \( x \in [-2, -1] \)：函数单调递减，值域为\( \left[ -k, -\frac{k}{2} \right] \)
- \( x \in \{ x \mid -3 < x < 1 \text{ 且 } x \neq 0 \} \)：值域为\( (-\infty, -\frac{k}{3}) \cup (k, +\infty) \)
- \( x \in \mathbb{R} \)：值域为\( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)
抛物线灵脉：二次函数的 "聚气气脉"
二次函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）如拱顶灵穴，气脉聚于顶点。
已知\( f(x) = x^2 - 2x - 3 \)，分情况求值域：
- \( x \in [-2, 0] \)：对称轴\( x = 1 \)，区间内函数单调递减，值域为\( [-3, 5] \)
- \( x \in [2, 3] \)：对称轴\( x = 1 \)，区间内函数单调递增，值域为\( [-3, 0] \)
- \( x \in [-2, 2] \)：对称轴\( x = 1 \)，区间内函数先减后增，值域为\( [-4, 5] \)
- \( x \in [-2, t] \)：需分\( t < 1 \)、\( 1 \leq t \leq 4 \)、\( t > 4 \)讨论（结合对称轴与区间的位置）
求\( y = x^2 - 2ax - 1 \)在区间\( [0, 2] \)上的最小值。
解答：对称轴为\( x = a \)，分三类讨论：
- 当\( a < 0 \)时，函数在\( [0, 2] \)上递增，\( y_{\text{min}} = f(0) = -1 \)
- 当\( 0 \leq a \leq 2 \)时，函数在\( [0, a] \)递减、\( [a, 2] \)递增，\( y_{\text{min}} = f(a) = -1 - a^2 \)
- 当\( a > 2 \)时，函数在\( [0, 2] \)上递减，\( y_{\text{min}} = f(2) = 3 - 4a \)
新组合灵脉：分段函数"合璧气脉"
分段函数是"多气脉组合"，各段值域聚集，取并集为整体值域。
已知\( f(x) = \begin{cases} x + 2 & -2 \leq x \leq -1 \\ x^2 & -1 < x < 2 \\ 5 - \frac{1}{2}x & 2 \leq x \leq 3 \end{cases} \)，求值域。
解答：
- 第一段\( x \in [-2, -1] \)：\( f(x) \in [0, 1] \)
- 第二段\( x \in (-1, 2) \)：\( f(x) \in [0, 4) \)
- 第三段\( x \in [2, 3] \)：\( f(x) \in \left[ \frac{7}{2}, 4 \right] \)
- 合并值域：\( [0, 4] \)
第二重境界：提炼・通经活络，掌值域之法
"道可道，非常道；名可名，非常名。"
基础气脉熟稔后，需提炼运功法门，让气脉沿固定路径攀升，终从 y 值之口流出。
配方通脉法：二次函数的 "聚气诀"
适用于二次函数或可化为二次型的函数，通过配方锁定气脉聚点（顶点）：
步骤：先配方\( f(x) = a(x - h)^2 + k \)，再结合定义域判断顶点位置，确定气脉边界。
\( f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 3} = \sqrt{(x - 1)^2 + 2} \)，气脉聚于\( (1, 2) \)，最小值为\( \sqrt{2} \)，值域\( [\sqrt{2}, +\infty) \)。
如变为\( f(x) = \sqrt{x^2 - 2x - 3} \)，求\( f(x) \)值域呢？
分离固脉法：分式函数的 "分流诀"
形如\( y = \frac{ax + b}{cx + d} \)的函数，如同分叉气脉，需分离常数让主脉清晰：
变形：\( y = \frac{a}{c} + \frac{bc - ad}{c(cx + d)} \)，分式部分气脉不为零，故值域剔除常数项。
求\( y = \frac{3x + 2}{x - 1} \)的值域。
解答：分离常数得\( y = 3 + \frac{5}{x - 1} \)。
因\( \frac{5}{x - 1} \neq 0 \)，故\( y \neq 3 \)，值域为\( (-\infty, 3) \cup (3, +\infty) \)。
单调循脉法：增减函数的 "顺流诀"
若函数在定义域内单调，气脉沿固定方向流动，端点即为气脉极值点。
\( y = \sqrt{x - 1} - \sqrt{3 - x} \)
解答：定义域\( [1, 3] \)，\( \sqrt{x - 1} \)升、\( \sqrt{3 - x} \)降，气脉整体攀升，值域\( [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] \)。
第三重境界：化转・转脉换形，破复杂之局
"一生二，二生三，三生万物。"
复杂函数如交错脉网，需以换元为 "转脉符"，将杂乱气脉转为熟悉路径。
行功线路图：\( x \stackrel{t = m(x)}{\to} t \stackrel{y = u(t)}{\to} y \)，线路贯通。（这非一日之功！）
换元转脉术
遇含根式的函数，令根式为新元 t，褪去 "根式障"，化为二次或一次函数。
\( y = x + \sqrt{2x - 1} \)
解答：令\( t = \sqrt{2x - 1} \)（\( t \geq 0 \)），则\( x = \frac{t^2 + 1}{2} \)，
气脉转为\( y = \frac{1}{2}t^2 + t + \frac{1}{2} \)，开口向上，在\( t \geq 0 \)时，最小值\( \frac{1}{2} \)，
值域\( [\frac{1}{2}, +\infty) \)。
求\( y = \frac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 2} \)的值域。
提示：
第1步令\( t = \sqrt{x} \)
x 范围\( x \geq 0 \implies t \)范围\( t \geq 0 \)
第2步 \( y = \frac{2t - 6}{t + 2} \)，\( t \geq 0 \)
第3步\(t \geq 0 \implies y \)范围
？看不出来，怎么办？（借助于图）
奇经八脉：特殊法门补全功
判别式脉：分式二次函数的 "断脉镜"
形如\( y = \frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f} \)（分母无零点），将其化为关于 x 的二次方程，方程有解则判别式\( \Delta \geq 0 \)，如同以镜照脉，锁定 y 的边界。
\( y = \frac{x^2 - 2x - 1}{x^2} \)值域
解答：整理为\( (y - 1)x^2 + 2x + 1 = 0 \)，
\( \Delta = 4 - 4(y - 1) \geq 0 \)，
解得\( y \leq 2 \)，结合\( x \neq 0 \)，值域\( (-\infty, 2] \)。
它的本质是：
\( y = 1 - \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2} \)
令\( \frac{1}{x} = t \)，\( \therefore t \neq 0 \)，转化为\( y = -t^2 - 2t + 1 \)，\( t \neq 0 \)
反解固脉法：含分式的 "逆推诀"
对\( y = \frac{ax + b}{cx + d} \)，反解 x 为 y 的表达式，利用定义域限制 y 的范围。
\( y = \frac{2\sqrt{x} - 6}{\sqrt{x} + 2} \)的值域。
解答：反解\(\sqrt{x}= \frac{2y +6}{2 - y} \geq 0\)，解得值域\(\left[ -3, 2 \right)\)。
心法总诀
寻源先定 x 疆域，基础函数辨脉形；
提炼法门通经络，配方分离单调行；
化转换元破迷局，x到t到y 路分明；
奇经八脉补疏漏，判别反解定乾坤。
注：练此心法，需常以例题磨手，每解一题必验定义域，每换一元必明 t 范围，如此方能功力日深，求值域如探囊取物。