吴兵

一、鼓书艺人的热爱——点燃数学学习的内驱力

    老舍在《鼓书艺人》中写道：“他想要给孩子们唱上一段，可是心里直翻腾，开不了口。” 即便内心忐忑，鼓书艺人对艺术的热爱仍驱使他渴望展现。数学学习如同鼓书艺人的表演，需要热爱与坚持。没有内在驱动力，再好的方法也难以奏效。热爱，是高三数学复习的根基，是点燃复习热情的火种。

1.热爱的风吹到了2025年新高考1卷第6题：

    “6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速，视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，其中船行风速对应的向量与船速对应的向量大小相等，方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系。已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图$2 ($风速的大小和向量的大小相同，单位：$m / s )$，则真风为$($ $)$

等级	风速大小	名称
2	$1 . 1 \sim 3 . 3$	轻风
3	$3 . 4 \sim 5 . 4$	微风
4	$5 . 5 \sim 7 . 9$	和风
5	$8 . 0 \sim 1 0 . 1$	劲风

图1

图2

A. 轻风     B. 微风     C. 和风     D. 劲风

【答案】A

【解析】解：$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{真风风速}} + \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{船行风速}} = \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{视风风速}}$，$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{船行风速}} = - \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{船速}}$， 所以$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{真风风速}} = \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{视风风速}} + \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{船速}}$，$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{视风风速}} = ( - 3 , - 1 )$，$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{船速}} = ( 1 , 3 )$，
所以$\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{真风风速}} = ( - 2 , 2 )$，
所以$|\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{真风风速}} | = 2 \sqrt[\ ]{2} \in ( 1 . 1 , 3 . 3 )$为轻风.
故选：$$A .

2.热爱源于数学之美：

    2025年新高考1卷第19题中给出目标函数$f ( x ) = 5 \cos x - \cos 5 x .$它的图象是：

    如果在极坐标系下写出类似的方程：$\rho = 5 \cos \theta - \cos 5 \theta .$它的图象是：

二、艾青的嘶哑歌唱——追求的力量与深度突破

    艾青在《我爱这土地》中深情吟诵：“假如我是一只鸟，我也应该用嘶哑的喉咙歌唱。” 这是对热爱的执着追求，是不惜一切代价的坚守。在高中数学学习的征程中，函数、数列等重难点知识如同险峻的高山，阻挡着我们前进的道路。但正如艾青对土地的深情，我们对数学知识也应怀着执着的追求。

1.突破的力量

    2025年新高考1卷第8题：

    “8.已知实数x，y，z满足$2 + \log_{2} x = 3 + \log_{3} y = 5 + \log_{5} z$，则x，y，z的大小关系不可能是$($ $)$

    A. $x > y > z$     B. $x > z > y$     C. $y > x > z$     D. $y > z > x$

【答案】B

【解析】解：方法一$($特殊值法$)$：
设$2 + \log_{2} x = 3 + \log_{3} y = 5 + \log_{3} z = k ,$
令$x = 1 ,$则$k = 2 , 故 有 \log_{3} y = - 1 , \log_{5} z = - 3 .$
$\therefore y = \frac{1}{3} , z = \frac{1}{5^{3}} = \frac{1}{125} . 此 时 x > y > z , 选 项 A 成 立 .$
令$y = 1 ,$则$k = 3 , 故 有 \log_{2} x = 1 , \log_{5} z = - 2 .$
$\therefore x = 2 , z = \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25} . 此 时 x > y > z , 选 项 A 成 立 .$
令$z = 1 ,$则$k = 5 , 故 有 \log_{2} x = 3 , \log_{3} y = 2 .$
$\therefore x = 8 , y = 9 . 此 时 y > x > z , 选 项 C 成 立 .$
$令 k = 8 , 有 \log_{2} x = 6 , \log_{3} y = 5 , \log_{5} z = 3 .\therefore x = 2^{6} = 6 4 , y = 3^{5} = 2 4 3 , z = 5^{3} = 1 2 5 . y > z> x$,此 时 , 选 项 D 成 立 .$综 上 所 述 , 选 项 A C D 均 有 可 能 , 故 选 项 B 是 不 可 能 的 .故 选 B .$

方法二$($图象法$)$：
设$2 + \log_{2} x = 3 + \log_{3} y = 5 + \log_{5} z = k$，则$x = 2^{k - 2}$，$y = 3^{k - 3}$，$z = 5^{k - 5} .$
通过比较各变量的对数形式：$( k - 2 ) \ln 2$，$( k - 3 ) \ln 3 ， ( k - 5 ) \ln 5$

以k为自变量绘制三条直线如图：

红色是lnx，蓝色lny，绿色lnz，有七种情况，故选$B .$

三、穆旦的带血拥抱——具身认知与实战演练

     穆旦在《赞美》中高呼：“我要以带血的手和你们一一拥抱，因为一个民族已经起来。” 这是全身心投入的豪情，是为目标全力以赴的决心。在数学复习中，践行具身认知，全身心投入至关重要。

1.解三角形中的具身认知：

    对于解三角形中一个重要的认知为“一个三角形由三个条件确定”

    2025年新高考1卷第11题.已知$\bigtriangleup A B C$的面积为$\frac{1}{4}$，若$\cos 2 A + \cos 2 B + 2 \sin C = 2$，$\cos A \cos B \sin C = \frac{1}{4}$，则$($    $)$

A. $\sin C = \sin^{2} A + \sin^{2} B$ $\space\space\space\space$ $B. A B = \sqrt[\ ]{2}$
C. $\sin A + \sin B = \frac{\sqrt[\ ]{6}}{2}$ $\space\space\space\space \space\space\space\space\space\space\space$ $D. A C^{2} + B C^{2} = 3$

    我们可以尝试求出这个确定的三角形

    由$\space\cos 2 A + \cos 2 B + 2 \sin C = 2\space$得，$1 - 2 \sin^{2} A + 1 - 2 \sin^{2} B + 2 \sin C = 2 ,$

     $2 \sin C = 2 \sin^{2} A + 2 \sin^{2} B , \sin C = \sin^{2} A + \sin^{2} B .$选项A正确，还可以观察得到当C=90°时该式成立， $\cos 2 A + \cos 2 B + 2 \sin C = 2$还可以变形为$\sin C = 1 + \cos C \cos ( A - B ) \\当 C < 90 {^\circ} 时$,显然不成立，
当$C > 90 {^\circ}$时，$\sin^{2} C > \sin^{2} A + \sin^{2} B = s i n C$同样不成立。
那么就可以求出这个直角三角形【答案】ABC

    还有14题，16题都需要我们在平时的学习中通过实战演练建立具身认知才能在看到试题时能够迅速的对号入座，在这个过程中，我们不再是知识的被动接受者，而是学习的主动参与者。当我们全身心投入到数学复习中，明确高考目标，每一道练习题的解答，每一个知识点的巩固，都将成为我们靠近目标的坚实步伐。

四、查氏家族传承——构建数学文化底蕴

    穆旦原名查良铮，这个名字你熟悉吗？查姓家族的传承，承载着深厚的文化底蕴。数学学习同样需要传承，传承基础知识和思想方法，夯实数学底蕴。高考数学中的集合、复数等基础题型，看似简单，却是构建数学知识大厦的基石。就像 2025 年新高考全国卷中集合与逻辑关系的题目，虽难度不大，但却考查着我们对集合基本概念和逻辑推理的掌握程度。只有像查姓家族传承文化一样，重视基础知识的积累，从集合的运算规则到复数的运算法则，从最基础的公式定理入手，稳扎稳打，才能筑牢数学学习的根基，在高考中从容应对各种题型的挑战。

1.函数中的传承

    2025年新高考1卷第5题

    5.已知$f ( x )$是定义在R上且周期为2的偶函数，当$2 \leq x \leq 3$时，$f ( x ) = 5 - 2 x$，则$f ( - \frac{3}{4} ) = ($ $)$

    A. $- \frac{1}{2}$     B. $- \frac{1}{4}$     C. $\frac{1}{4}$     D. $\frac{1}{2}$

【答案】A

【解析】解：由题知$f ( - x ) = f ( x )$，$f ( x + 2 ) = f ( x )$，
所以$f ( - \frac{3}{4} ) = f ( \frac{3}{4} ) = f ( \frac{11}{4} ) = 5 - 2 \times \frac{11}{4} = - \frac{1}{2}$，
故选：$A$ .

    这是函数性质中变量从左到右的传承。

    2025年新高考1卷第19题第一问

    19.设函数$f ( x ) = 5 \cos x - \cos 5 x .$

$( 1 )$求$f ( x )$在$\lbrack 0 , \frac{\pi}{4} \rbrack$的最大值;

    解：$( 1 )$易得$f ' ( x ) = - 5 \sin x + 5 \sin 5 x$
令$f ' ( x ) = 0$，即$\sin x = \sin 5 x ，$因为$x \in \lbrack 0 , \frac{\pi}{4} \rbrack$，解得$x = 0$或$\frac{\pi}{6} .$
结合单调性可知，当$x \in ( 0 , \frac{\pi}{6} )$时，$f ' ( x ) > 0$，$f ( x )$单调递增;当$x \in ( \frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{4} )$时，$f ' ( x ) < 0$，$f ( x )$单调递减.
故$f ( x )_{\max} = f ( \frac{\pi}{6} ) = 3 \sqrt[\ ]{3} .$
这是原函数到导函数的传承

    数学学习之路，道阻且长。但只要我们以热爱为舟，以追求为帆，以投入为桨，以传承为舵，在高考真题的海洋中奋勇前行，定能驶向理想的彼岸，在高考的舞台上绽放属于自己的数学光彩。

2025年6月16日