数你会玩
复数与新文化培优练习题
编辑
2025-06-19
高中数学同步
00
请注意，本文编写于 42 天前，最后修改于 42 天前，其中某些信息可能已经过时。

目录

复数与新文化培优练习题

一、题目内容

  1. 已知复数z1z_{1}和z2z_{2}满足∣z1−8−14i∣=5∣z1−4−6i∣| z_{1} - 8 - 14 i | = \sqrt{5} | z_{1} - 4 - 6 i |，∣z1−z2∣=3| z_{1} - z_{2} | = 3，则∣z‾2∣| \overline{z}_{2} |的取值范围为（ ）

    A. [0,13][ 0 , 13 ]

    B. [3,9][ 3 , 9 ]

    C. [0,10][ 0 , 10 ]

    D. [3,13][ 3 , 13 ]

  2. 设复数z1=2sin⁡θ+icos⁡θ(π4<θ<π2)z_{1} = 2 \sin \theta + i \cos \theta \left( \frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{2} \right)在复平面上对应向量OZ‾1\overline{O Z}_{1}，将向量OZ‾1\overline{O Z}_{1}绕原点oo按顺时针方向旋转3π4\frac{3 \pi}{4}后得到向量OZ‾2\overline{O Z}_{2}，OZ‾2\overline{O Z}_{2}对应复数z2=r(cos⁡φ+isin⁡φ)z_{2} = r \left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right)，则tan⁡φ=\tan \varphi =（ ）

    A. 2tan⁡θ+12tan⁡θ−1\frac{2 \tan \theta + 1}{2 \tan \theta - 1}

    B. 2tan⁡θ−12tan⁡θ+1\frac{2 \tan \theta - 1}{2 \tan \theta + 1}

    C. 12tan⁡θ+1\frac{1}{2 \tan \theta + 1}

    D. 12tan⁡θ−1\frac{1}{2 \tan \theta - 1}

  3. 已知复数zz满足∣z∣=1| z | = 1，且有z17+z=1z^{17} + z = 1，求z=z =（ ）

    A. 12±32i\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i

    B. 32±12i\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2} i

    C. 22±22i\frac{\sqrt{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} i

    D.都不对

  4. 已知复数zz满足z⋅z‾=4z \cdot \overline{z} = 4且z+z‾+∣z∣=0z + \overline{z} + | z | = 0，则z2019z^{2019}的值为（ ）

    A. −1- 1

    B. −22019- 2^{2019}

    C. 11

    D. 220192^{2019}

  5. 关于xx的实系数方程x2−4x+5=0x^{2} - 4 x + 5 = 0和x2+2mx+m=0x^{2} + 2 m x + m = 0有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则mm的取值范围是（ ）

    A. {5}\left\{ 5 \right\}

    B. {−1}\left\{ - 1 \right\}

    C. (0,1)( 0 , 1 )

    D. (−∞,−1)∪(0,1)( - \infty , - 1 ) \cup ( 0 , 1 )

  6. 若集合N={z∣z=2[cos⁡(arcsin⁡t)+i⋅cos(arccos⁡t)],t∈R,∣t∣≤1}N = \left\{ z | z = \sqrt{2} \left\lbrack \cos \left( \arcsin t \right) + i \cdot c o s \left( \arccos t \right) \right\rbrack , t \in R , | t | \leq 1 \right\}，M={z∣z=t1+t+1+tti,t∈R,t≠−1,t≠0}M = \left\{ z | z = \frac{t}{1 + t} + \frac{1 + t}{t} i , t \in R , t \neq - 1 , t \neq 0 \right\}，则M∩NM \cap N中元素的个数为（ ）

    A. 00

    B. 11

    C. 22

    D. 44

  7. 已知z∈Cz \in C，且∣z−i∣=1| z - i | = 1。ii为虚数单位，则∣z−3−5i∣| z - 3 - 5 i |的最大值是（ ）

    A. 55

    B. 66

    C. 77

    D. 88

  8. 在复数列{zn}\left\{ z_{n} \right\}中，z1=8+16iz_{1} = 8 + 16 i，zn+1=i2⋅zn(n∈N∗)z_{n + 1} = \frac{i}{2} \cdot z_{n} \left( n \in N^{*} \right)，设znz_{n}在复平面上对应的点为ZnZ_{n}，则（ ）

    A. 存在点MM，对任意的正整数nn，都满足∣MZn∣≤10| M Z_{n} | \leq 10

    B. 不存在点MM，对任意的正整数nn，都满足∣MZn∣≤55| M Z_{n} | \leq 5 \sqrt{5}

    C. 存在无数个点MM，对任意的正整数nn，都满足∣MZn∣≤65| M Z_{n} | \leq 6 \sqrt{5}

    D. 存在唯一的点MM，对任意的正整数nn，都满足∣MZn∣≤85| M Z_{n} | \leq 8 \sqrt{5}

  9. 在复平面内，复数z=a+bi(a∈R,b∈R)z = a + b i ( a \in R , b \in R )对应向量OZ→\overset{\rightarrow}{O Z}（OO为坐标原点），设∣OZ→∣=r| \overset{\rightarrow}{O Z} | = r，以射线OxO x为始边，OZ→\overset{\rightarrow}{O Z}为终边逆时针旋转的角为θ\theta，则z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)。法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)z_{1} = r_{1} \left( \cos \theta_{1} + i \sin \theta_{1} \right)，z2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_{2} = r_{2} \left( \cos \theta_{2} + i \sin \theta_{2} \right)，则：z1z2=r1r2[cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} \left\lbrack \cos \left( \theta_{1} + \theta_{2} \right) + i \sin \left( \theta_{1} + \theta_{2} \right) \right\rbrack，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：zn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ)z^{n} = r^{n} \left( \cos n \theta + i \sin n \theta \right)，则(−1+3i)10=\left( - 1 + \sqrt{3} i \right)^{10} =（ ）

    A. 1024−10243i1024 - 1024 \sqrt{3} i

    B. −1024+10243i- 1024 + 1024 \sqrt{3} i

    C. 512−5123i512 - 512 \sqrt{3} i

    D. −512+5123i- 512 + 512 \sqrt{3} i

  10. 已知复数z=x+yi(x,y∈R)z = x + y i ( x , y \in R )，且∣z−2∣=3| z - 2 | = \sqrt{3}，则y+1x\frac{y + 1}{x}的最大值为（ ）

    A. 3\sqrt{3}

    B. 6\sqrt{6}

    C. 2+62 + \sqrt{6}

    D. 2−62 - \sqrt{6}

  11. 设复数zz的共轭复数是z‾\overline{z}，且∣z∣=1| z | = 1，又复数zz对应的点为ZZ，A(−1,0)A ( - 1 , 0 )与B(0,1)B ( 0 , 1 )为定点，则函数f(z)=∣(z+1)(z‾−i)∣f ( z ) = | ( z + 1 ) \left( \overline{z} - i \right) |取最大值时在复平面上以ZZ，AA，BB三点为顶点的图形是（ ）

    A. 等边三角形

    B. 直角三角形

    C. 等腰直角三角形

    D. 等腰三角形

  12. （2018 广东珠海一中等六校高三第三次联考）已知(−2+i)2018=(−2+i)2(−2+i)2016=(−2+i)2[(−2+i)2]1008=(−2+i)2(−3−4i)1008( - 2 + i )^{2018} = ( - 2 + i )^{2} ( - 2 + i )^{2016} = ( - 2 + i )^{2} \left\lbrack ( - 2 + i )^{2} \right\rbrack^{1008} = ( - 2 + i )^{2} ( - 3 - 4 i )^{1008}，又数列{an}\left\{ a_{n} \right\}满足：当n=1n = 1时，a1=−2a_{1} = - 2；当n≥2n \geq 2，ana_{n}为b2(−2+i)2b_{2} ( - 2 + i )^{2}的虚部，若数列{−2an}\left\{ \frac{- 2}{a_{n}} \right\}的前nn项和为SnS_{n}，则S2018=S_{2018} =（ ）

    A. 40332017\frac{4033}{2017}

    B. 20182018

    C. 40352018\frac{4035}{2018}

    D. 40372019\frac{4037}{2019}

  13. 设AA，BB为锐角三角形的两个内角，则复数z=(cot⁡B−tan⁡A)+(tan⁡B−cot⁡A)iz = \left( \cot B - \tan A \right) + \left( \tan B - \cot A \right) i对应的点位于复平面的（ ）

    A. 第一象限

    B. 第二象限

    C. 第三象限

    D. 第四象限

  14. 现定义eiθ=cosθ+isin⁡θe^{i \theta} = c o s \theta + i \sin \theta，其中ii为虚数单位，ee为自然对数的底数，θ∈R\theta \in R，且实数指数幂的运算性质对eθe^{\theta}都适用，若a=C50cos⁡5θ−C52cos⁡3θsin⁡2θ+C54cos⁡θsin⁡4θa = C_{5}^{0} \cos^{5} \theta - C_{5}^{2} \cos^{3} \theta \sin^{2} \theta + C_{5}^{4} \cos \theta \sin^{4} \theta，b=C51cos⁡4θsin⁡θ−C53cos⁡2θsin⁡3θ+C55sin⁡5θb = C_{5}^{1} \cos^{4} \theta \sin \theta - C_{5}^{3} \cos^{2} \theta \sin^{3} \theta + C_{5}^{5} \sin^{5} \theta，那么复数a+bia + b i等于（ ）

    A. cos⁡5θ+isin⁡5θ\cos 5 \theta + i \sin 5 \theta

    B. cos⁡5θ−isin⁡5θ\cos 5 \theta - i \sin 5 \theta

    C. sin⁡5θ+icos⁡5θ\sin 5 \theta + i \cos 5 \theta

    D. sin⁡5θ−icos⁡5θ\sin 5 \theta - i \cos 5 \theta

  15. 已知z=a+biz = a + b i（aa、b∈Rb \in R），ii是虚数单位，z1z_{1}，z2∈Cz_{2} \in C，定义：D(z)=∣z∣=∣a∣+∣b∣D ( z ) = | z | = | a | + | b |，D(z1,z2)=∣z1−z2∣D \left( z_{1} , z_{2} \right) = | z_{1} - z_{2} |。给出下列命题：

    (1) 对任意z∈Cz \in C，都有D(z)>0D ( z ) > 0；

    (2) 若z‾\overline{z}是复数zz的共轭复数，则D(z‾)=D(z)D \left( \overline{z} \right) = D ( z )恒成立；

    (3) 若D(z1)=D(z2)D \left( z_{1} \right) = D \left( z_{2} \right)（z1z_{1}、z2∈Cz_{2} \in C），则z1=z2z_{1} = z_{2}；

    (4) 对任意z1z_{1}、z2z_{2}、z3∈Cz_{3} \in C，结论D(z1,z3)≤D(z1,z2)+D(z2,z3)D \left( z_{1} , z_{3} \right) \leq D \left( z_{1} , z_{2} \right) + D \left( z_{2} , z_{3} \right)恒成立，则其中真命题是[答]（ ）

    A. (1)(2)(3)(4)

    B. (2)(3)(4)

    C. (2)(4)

    D. (2)(3)

  16. 复数zz与点zz对应，z1z_{1}，z2z_{2}为两个给定的复数，z1≠z2z_{1} \neq z_{2}，则∣Z−z1∣=∣Z−z2∣| Z - z_{1} | = | Z - z_{2} |决定的zz的轨迹是（ ）

    A. 过z1z_{1}，z2z_{2}的直线

    B. 线段z1z2z_{1} z_{2}的中垂线

    C. 双曲线的一支

    D. 以z1z_{1}，z2z_{2}为端点的圆

  17. 复数z=a+bi(a,b∈R)z = a + b i ( a , b \in R )的虚部记作Im(z)=bI m ( z ) = b，则Im(12+i)=I m \left( \frac{1}{2 + i} \right) =（ ）

    A. 13\frac{1}{3}

    B. 25\frac{2}{5}

    C. −13- \frac{1}{3}

    D. −15- \frac{1}{5}

  18. 若z=cosθ+isin⁡θz = c o s \theta + i \sin \theta（ii为虚数单位），则z2=−1z^{2} = - 1的θ\theta值可能是（ ）

    A. π6\frac{\pi}{6}

    B. π4\frac{\pi}{4}

    C. π3\frac{\pi}{3}

    D. π2\frac{\pi}{2}

  19. 设复数ω=−12+32i\omega = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i，则化简复数1+ω+ω2+ω3=1 + \omega + \omega^{2} + \omega^{3} =（ ）

    A. 11

    B. 22

    C. 12+32i\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i

    D. 12−32i\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i

  20. 设x1x_{1}，x2x_{2}是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0a x^{2} + b x + c = 0的两个根，若x1x_{1}是虚数，且x12x2\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}是实数，则A=1+(x1x2)+(x1x2)2+(x1x2)4+(x1x2)8+(x1x2)16+(x1x2)32A = 1 + \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right) + \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{2} + \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{4} + \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{8} + \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{16} + \left( \frac{x_{1}}{x_{2}} \right)^{32}（ ）

    A. 00

    B. −1- 1

    C. 22

    D. 11

  21. 设ss为复数集cc的非空子集，若对任意xx，y∈Sy \in S，都有x+yx + y，x−yx - y，xy∈Sx y \in S，则称SS为封闭集。下列命题：

    (1) 集合S={a+bi∣a,b为整数，i为虚数单位}S = \{ a + b i | a , b \text{为整数，} i \text{为虚数单位} \}为封闭集；

    (2) 若ss为封闭集，则一定有0∈S0 \in S；

    (3) 封闭集一定是无限集；

    (4) 若ss为封闭集，则满足S⊆T⊆CS \subseteq T \subseteq C的任意集合TT也是封闭集。其中真命题的个数为（ ）

    A. 11

    B. 22

    C. 33

    D. 44

  22. 若复数(x−1)+yi(x∈R,y>0)( x - 1 ) + y i ( x \in R , y > 0 )的模为11，则yx+1\frac{y}{x + 1}的取值范围是（ ）

    1. A. (0,3]( 0 , \sqrt{3} \rbrack
    2. B. (0,33]( 0 , \frac{\sqrt{3}}{3} \rbrack
    3. C. [0,33]\left\lbrack 0 , \frac{\sqrt{3}}{3} \right\rbrack
    4. D. [−33,33]\left\lbrack - \frac{\sqrt{3}}{3} , \frac{\sqrt{3}}{3} \right\rbrack

  23. 已知z1z_{1}、z2∈Cz_{2} \in C，且∣z1−4i∣=1| z_{1} - 4 i | = 1，∣z2−23∣=∣z2−2i∣| z_{2} - 2 \sqrt{3} | = | z_{2} - 2 i |（ii是虚数单位），则∣z1−z2∣| z_{1} - z_{2} |的最小值为（ ）

    A. 44

    B. 33

    C. 22

    D. 11

  24. 已知复数zz满足∣z−4+3i∣=2| z - 4 + 3 i | = 2，则∣z∣| z |的最大值为（ ）

    A. 77

    B. 66

    C. 55

    D. 44

  25. 若复数z=a+biz = a + b i（aa，bb为实数）都可以表示为r(cos⁡θ+isin⁡θ)r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right)的形式，其中rr是复数zz的模，θ\theta是以xx轴的非负半轴为始边，向量OZ→\overset{\rightarrow}{O Z}所在射线（射线OZO Z）为终边的角，叫做复数z=a+biz = a + b i的辐角，规定在θ∈[0,2π)\theta \in \lbrack 0 , 2 \pi )范围内的辐角θ\theta的值为辐角主值，通常记作arg⁡z\arg z。例如z=1+iz = 1 + i的三角形式为2(cos⁡π4+isin⁡π4)\sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right)，则arg⁡z=π4\arg z = \frac{\pi}{4}，已知度数z=1−cosθ−isin⁡θ(π2<θ<π)z = 1 - c o s \theta - i \sin \theta \left( \frac{\pi}{2} < \theta < \pi \right)，则zz的辐角主值arg⁡z\arg z为（ ）

    A. π4−θ2\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}

    B. π2−θ2\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}

    C. 3π4+θ2\frac{3 \pi}{4} + \frac{\theta}{2}

    D. 3π2+θ2\frac{3 \pi}{2} + \frac{\theta}{2}

  26. △ABC\bigtriangleup A B C的三个顶点所对应的复数分别为中z1z_{1}，z2z_{2}，z3z_{3}，AB=4A B = 4，AC=5A C = 5，点oo为△ABC\bigtriangleup A B C所在平面内一点，对应复数zz，满足∣z−z1∣=∣z−z2∣=∣z−z3∣| z - z_{1} | = | z - z_{2} | = | z - z_{3} |，则AO→⋅BC→=\overset{\rightarrow}{A O} \cdot \overset{\rightarrow}{B C} =（ ）

    A. −3- 3

    B. 92\frac{9}{2}

    C. 66

    D. 1010

  27. 已知复数zz满足(1+i)z=1+2i( 1 + i ) z = 1 + 2 i，则∣z+bi∣≤102(b∈R)| z + b i | \leq \frac{\sqrt{10}}{2} ( b \in R )的一个充分不必要条件是（ ）

    1. A. b∈(−1,0)b \in ( - 1 , 0 )
    2. B. b∈[−1,0]b \in [ - 1 , 0 ]
    3. C. b∈(0,1)b \in ( 0 , 1 )
    4. D. b∈[−1,2]b \in [ - 1 , 2 ]

  28. 瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式eix=cosx+isin⁡x(x∈R)e^{i x} = c o s x + i \sin x ( x \in R )，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系。特别是当x=πx = \pi时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0e^{\pi i} + 1 = 0，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底ee，圆周率π\pi，虚数单位ii，自然数的单位11和数字00）联系到了一起，若eiαe^{i \alpha}表示的复数对应的点在第二象限，则α\alpha可以为（ ）

    1. A. π3\frac{\pi}{3}
    2. B. 2π3\frac{2 \pi}{3}
    3. C. 3π2\frac{3 \pi}{2}
    4. D. 11π6\frac{1 1 \pi}{6}

  29. 复数zz满足∣z∣=1| z | = 1，且使得关于xx的方程x2+z‾⋅x+z=0x^{2} + \overline{z} \cdot x + z = 0有实根，则这样的复数zz的个数为（ ）

    1. A. 11个
    2. B. 22个
    3. C. 33个
    4. D. 44个

  30. 设ii是虚数单位，则2i+3i2+4i3+⋯+2021i20202 i + 3 i^{2} + 4 i^{3} + \cdots + 2021 i^{2020}的值为（ ）

    1. A. −1011−1010i- 1011 - 1 0 1 0 i
    2. B. −1010−1010i- 1010 - 1 0 1 0 i
    3. C. −1010−1012i- 1010 - 1 0 1 2 i
    4. D. −1011−1010i- 1011 - 1 0 1 0 i

  31. 如图，△ABC\bigtriangleup A B C是圆的内接三角形，∠BAC\angle B A C的平分线交圆于点DD，交BCB C于EE，过点BB的圆的切线与ADA D的延长线交于点FF，在上述条件下，给出下列四个结论：

    1. ① BDB D平分∠CBF\angle C B F；
    2. ② FB2=FD⋅FAF B^{2} = F D \cdot F A；
    3. ③ AE⋅CE=BE⋅DEA E \cdot C E = B E \cdot D E；
    4. ④ AF⋅BD=AB⋅BFA F \cdot B D = A B \cdot B F。 所有正确结论的序号是（ ）
    5. A. ①②
    6. B. ③④
    7. C. ①②③
    8. D. ①②④

  32. 在⊙O\odot O中，直径ABA B、CDC D互相垂直，BEB E切⊙O\odot O于BB，且BE=BCB E = B C，CEC E交ABA B于FF，交⊙O\odot O于MM，连结MOM O并延长，交⊙O\odot O于NN，则下列结论中，正确的是（ ）

    1. A. CF=FMC F = F M
    2. B. OF=FBO F = F B
    3. C. BM^\hat{B M}的度数是22.5∘{2 2 . 5}^{\circ}
    4. D. BC∥MNB C \parallel M N

  33. 第2424届冬季奥林匹克运动会，将在20222022年22月44日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行。这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市。同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家。根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆。国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点AA和短轴一端点BB分别向内层椭圆引切线ACA C，BDB D（如图），且两切线斜率之积等于−916- \frac{9}{16}，则椭圆的离心率为（ ）

    1. A. 34\frac{3}{4}
    2. B. 74\frac{\sqrt{7}}{4}
    3. C. 916\frac{9}{16}
    4. D. 32\frac{\sqrt{3}}{2}

  34. 我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积。如图11，在一个棱长为2a2 a的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图22，设平行于水平面且与水平面距离为hh的平面为α\alpha，记平面α\alpha截牟合方盖所得截面的面积为SS，则函数S=f(h)S = f ( h )的图象是（ ）

    1. A.
    2. B.
    3. C.
    4. D.

  35. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图11描绘了筒车的工作原理。假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动。将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m2 m，筒车的轴心oo到水面的距离为1m1 m，筒车每分钟按逆时针转动22圈。规定：盛水筒MM对应的点PP从水中浮现（即P0P_{0}时的位置）时开始计算时间，设盛水筒MM从P0P_{0}运动到点PP时所用时间为tt（单位：ss），且此时点PP距离水面的高度为hh（单位：mm）。若以筒车的轴心OO为坐标原点，过点oo的水平直线为xx轴建立平面直角坐标系xOyx O y（如图22），则hh与tt的函数关系式为（ ）

    1. A. h=2sin⁡(π15t−π6)+1,t∈[0,+∞)h = 2 \sin \left( \frac{\pi}{15} t - \frac{\pi}{6} \right) + 1 , t \in \lbrack 0 , + \infty )
    2. B. h=2sin⁡(π15t+π6)+1,t∈[0,+∞)h = 2 \sin \left( \frac{\pi}{15} t + \frac{\pi}{6} \right) + 1 , t \in \lbrack 0 , + \infty )
    3. C. h=2sin⁡(πt−π6)+1,t∈[0,+∞)h = 2 \sin \left( \pi t - \frac{\pi}{6} \right) + 1 , t \in \lbrack 0 , + \infty )
    4. D. h=2sin⁡(πt+π6)+1,t∈[0,+∞)h = 2 \sin \left( \pi t + \frac{\pi}{6} \right) + 1 , t \in \lbrack 0 , + \infty )

  36. 设aa，bb是实数，定义：a⊙b=a2b+ma2−9a−9b+1(m∈R)a \odot b = a^{2} b + m a^{2} - 9 a - 9 b + 1 ( m \in R )。若满足此不等式：1⊙(2⊙(⋯(2018⊙2019)⋯ )≤11 \odot ( 2 \odot \left( \cdots ( 2018 \odot 2019 ) \cdots \right) \leq 1，则mm的取值范围是（ ）

    1. A. m≥1m \geq 1
    2. B. m≤203−23m \leq \frac{20 \sqrt{3} - \sqrt{2}}{3}
    3. C. m≤913329m \leq \frac{913}{329}
    4. D. 1≤m≤329+43233611 \leq m \leq \frac{329 + 432 \sqrt{3}}{361}

  37. 阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262−190262 - 190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两个定点距离的比为常数k(k>0,k≠1)k ( k > 0 , k \neq 1 )的点的轨迹还是圆，后人把这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知定点A(−2,0)A ( - 2 , 0 )、B(2,0)B ( 2 , 0 )，动点cc满足∣AC∣=2∣BC∣| A C | = 2 | B C |，则动点cc的轨迹为一个阿波罗尼斯圆，记此圆为圆PP，已知点DD在圆PP上（点DD在第一象限），ADA D交圆PP于点EE，连接EBE B并延长交圆PP于点FF，连接DFD F，当∠DFE=30∘\angle D F E = 30^{\circ}时，直线ADA D的斜率为（ ）

    1. A. 3913\frac{\sqrt{39}}{13}
    2. B. 2613\frac{\sqrt{26}}{13}
    3. C. 34\frac{\sqrt{3}}{4}
    4. D. 134\frac{\sqrt{13}}{4}

  38. 十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割。如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿。”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36∘36^{\circ}的等腰三角形（另一种是顶角为108∘108^{\circ}的等腰三角形），如图所示的五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，在其中一个黄金△ABC\bigtriangleup A B C中，BCAC=5−12\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}，据这些信息，可得sin⁡126∘=\sin 126^{\circ} =（ ）

    1. A. 5+14\frac{\sqrt{5} + 1}{4}
    2. B. −5+14- \frac{\sqrt{5} + 1}{4}
    3. C. −5+38- \frac{\sqrt{5} + 3}{8}
    4. D. −25−14- \frac{2 \sqrt{5} - 1}{4}

  39. 我们把Fn=22n+1(n=0,1,2,⋯ )F_{n} = 2^{2^{n}} + 1 ( n = 0 , 1 , 2 , \cdots )称为“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）。设an=log⁡2(Fn−1)a_{n} = \log_{2} \left( F_{n} - 1 \right)，n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots，设数列{an}\left\{ a_{n} \right\}的前nn项和为SnS_{n}，则使不等式S1+S2+S3+⋯+Sn>2021−2nS_{1} + S_{2} + S_{3} + \cdots + S_{n} > 2021 - 2 n成立的正整数nn的最小值是（ ）

    1. A. 88
    2. B. 99
    3. C. 1010
    4. D. 1111

  40. 瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形（如图（1）开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形（（2），所得六角形共有1212条边。再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段。反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线。已知点oo是六角形的对称中心，AA，BB是六角形的两个顶点，动点PP在六角形上（内部以及边界）。若OP→=xOA→+yOB→\overset{\rightarrow}{O P} = x \overset{\rightarrow}{O A} + y \overset{\rightarrow}{O B}，则x+yx + y的取值范围是（ ）

    1. A. [−3,3][ - 3 , 3 ]
    2. B. [−4,4][ - 4 , 4 ]
    3. C. [−5,5][ - 5 , 5 ]
    4. D. [−6,6][ - 6 , 6 ]

  41. 十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础。著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1][ 0 , 1 ]均分为三段，去掉中间的区间段(13,23)\left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0,13],[23,1]\left\lbrack 0 , \frac{1}{3} \right\rbrack , \left\lbrack \frac{2}{3} , 1 \right\rbrack分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段。操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。若使去掉的各区间长度之和不小于2627\frac{26}{27}，则需要操作的次数nn的最小值为（ ）参考数据：lg⁡2=0.3010\lg 2 = 0 . 3 0 1 0，lg⁡3=0.4771\lg 3 = 0 . 4 7 7 1

    1. A. 66
    2. B. 77
    3. C. 88
    4. D. 99

  42. 意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比。光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美。达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”。后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为y=ex+e−x2y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}的“双曲余弦函数”相关。下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（ ）

A. B. C. D.

  1. 阿波罗尼奥斯是与阿基米德､欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数λ(λ>0,λ≠1)\lambda ( \lambda > 0 , \lambda \neq 1 )的动点的轨迹。已知在△ABC\bigtriangleup A B C中，角AA､BB､CC所对的边分别为aa､bb､cc，且sin⁡A=2sin⁡B\sin A = 2 \sin B，cos⁡A⋅b+cosB=3\cos A \cdot b + c o s B = 3，则△ABC\bigtriangleup A B C面积的最大值为（ ）
    1. A. 33
    2. B. 333 \sqrt{3}
    3. C. 66
    4. D. 636 \sqrt{3}
  2. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”，可用公式S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2]S = \sqrt{\frac{1}{4} \left\lbrack c^{2} a^{2} - \left( \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2} \right)^{2} \right\rbrack}（其中aa，bb，cc，SS为三角形的三边和面积）表示，在△ABC\bigtriangleup A B C中，aa，bb，cc分别为角AA，BB，CC所对的边，若a=2a = 2，且bcos⁡C−ccos⁡B=c2b \cos C - c \cos B = c^{2}，则△ABC\bigtriangleup A B C面积的最大值为（ ）
    1. A. 11
    2. B. 3\sqrt{3}
    3. C. 6\sqrt{6}
    4. D. 262 \sqrt{6}
  3. 埃及著名的吉沙（Giza）大金字塔，它的形状是正四棱锥。大金字塔内有着奇妙的走道设计，以及神秘的密室，已知它的高度的22倍的平方等于它的侧面积。则高的平方与底面棱长的平方的比值为（ ）
    1. A. 1−58\frac{1 - \sqrt{5}}{8}
    2. B. 1+58\frac{1 + \sqrt{5}}{8}
    3. C. 1−54\frac{1 - \sqrt{5}}{4}
    4. D. 1+54\frac{1 + \sqrt{5}}{4}
  4. “中国天眼”是我国具有自主知识产权，世界最大单口径，最灵敏的球面射电望远镜（如图）。其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，球冠面积S=2πRhS = 2 \pi R h，其中RR为球的半径，hh为球冠的高）设球冠底的半径为rr，周长为cc，球冠的面积为SS，则当C=2πC = 2 \pi，S=16πS = 16 \pi时，rR=\frac{r}{R} =（ ）
    1. A. 12\frac{1}{2}
    2. B. 158\frac{\sqrt{15}}{8}
    3. C. 138\frac{\sqrt{13}}{8}
    4. D. 178\frac{\sqrt{17}}{8}
  5. 陕西关中一带流行一种纸牌叫“花花牌”，俗称“花花”，牌面纸质和扑克牌差不多，窄长条型的，宽3.53 . 5厘米，长1414厘米。牌面中间画上人物或花草图案，两头则有一些黑红两色的椭圆点，像盲文，这些点的多少代表了牌面的大小。由于“花花牌”不含数字，不识字的人也可以玩，故很受百姓欢迎。相传“花花牌”与唐代流行的“骨牌”玩法颇为相似，下图给出了四张“骨牌”，请按此规律（自左向右）推测下一张“骨牌”应该是（ ）

A. B. C. D.

  1. 数独是源自 18 世纪瑞士的一种运用纸､笔进行演算的逻辑游戏。玩家需要根据9X99 X 9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行､每一列､每一个粗线宫（3×33 \times 3）内的数字均含1−91 - 9。2020 年中国数独锦标赛决赛作为 2020 数独大会重要赛事之一于 10 月 18 日在国家体育总局举行。某选手在解决如图所示的标准数独题目时，正确完成后，记第ii行的数字分别为ai1a_{i 1}，ai2a_{i 2}，ai3a_{i 3}，…，ai9a_{i 9}，令bi=−ai1+2ai2−3ai3+4ai4−5ai5+6ai6−7ai7+8ai8−9ai9b_{i} = - a_{i 1} + 2 a_{i 2} - 3 a_{i 3} + 4 a_{i 4} - 5 a_{i 5} + 6 a_{i 6} - 7 a_{i 7} + 8 a_{i 8} - 9 a_{i 9}，i=1,2,3,⋯ ,8,9i = 1 , 2 , 3 , \cdots , 8 , 9，b1+b2+⋯+b9=b_{1} + b_{2} + \cdots + b_{9} =（ ）
    1. A. −45- 45
    2. B. 4545
    3. C. −225- 225
    4. D. 225225
  2. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一。每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境､渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新､接福纳祥的愿望。图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEFA B C D E F的边长为44，圆oo的圆心为正六边形的中心，半径为22，若点PP在正六边形的边上运动，MNM N为圆oo的直径，则PM→⋅PN→\overset{\rightarrow}{P M} \cdot \overset{\rightarrow}{P N}的取值范围是（ ）
    1. A. [6,12][ 6 , 12 ]
    2. B. [6,16][ 6 , 16 ]
    3. C. [8,12][ 8 , 12 ]
    4. D. [8,16][ 8 , 16 ]
  3. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x=Rx = R，用[x][ x ]表示不超过xx的最大整数，则y=[x]y = [ x ]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[−3.7]=−4[ - 3 . 7 ] = - 4，[2.3]=2[ 2 . 3 ] = 2。已知f(x)=ex−1ex+1−12f ( x ) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}，则函数y=[f(x)]y = \left\lbrack f ( x ) \right\rbrack的值域为（ ）
    1. A. {0}\left\{ 0 \right\}
    2. B. {−1,0}\left\{ - 1 , 0 \right\}
    3. C. {−2,−1,0}\left\{ - 2 , - 1 , 0 \right\}
    4. D. {−1,0,1}\left\{ - 1 , 0 , 1 \right\}
  4. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数y=D(x)={1,x为有理数0,x为无理数y = D ( x ) = \begin{cases}1 , & x 为 有 理 数 \\ 0 , & x 为 无 理 数\end{cases}，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
    1. (1) D(D(x))=0D \left( D ( x ) \right) = 0
    2. (2) 对任意x∈Rx \in R，恒有D(x)=D(−x)D ( x ) = D ( - x )成立；
    3. (3) 任取一个不为零的有理数TT，D(x+T)=D(x)D ( x + T ) = D ( x )对任意实数xx均成立；
    4. (4) 存在三个点A(x1,D(x1))A \left( x_{1} , D \left( x_{1} \right) \right)､B(x2,D(x2))B \left( x_{2} , D \left( x_{2} \right) \right)､C(x3,D(x3))C \left( x_{3} , D \left( x_{3} \right) \right)使得△ABC\bigtriangleup A B C为等边三角形；其中真命题的序号为（ ）
    5. A. ①③④
    6. B. ②④
    7. C. ②③④
    8. D. ①②③
  5. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积=12= \frac{1}{2}（弦×矢 + 矢×矢）。弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差，现有一弧田，其弧田弦ABA B等于66米，其弧田弧所在圆为圆oo，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为72\frac{7}{2}平方米，则sin⁡∠AOB2=\sin \frac{\angle A O B}{2} =（ ）
    1. A. 34\frac{3}{4}
    2. B. 725\frac{7}{25}
    3. C. 45\frac{4}{5}
    4. D. 35\frac{3}{5}
  6. 我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。如果小正方形的面积为11，大正方形的面积为2525，直角三角形中较小的锐角为θ\theta，那么tan⁡(θ+π4)\tan \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)的值等于（ ）
    1. A. 77
    2. B. 17\frac{1}{7}
    3. C. −7- 7
    4. D. 2425\frac{24}{25}
  7. 电影《刘三姐》中有一个“舟妹分狗”的片段。其中，罗秀才唱道：三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？舟妹唱道；九十九条圩上卖，九十九条腊起来，九十九条赶羊走，剩下三条，财主请来当奴才（讽刺财主请来对歌的三个奴才）。事实上，电影中罗秀才提出了一个数学问题：把300300条狗分成44群，每群都是单数，11群少，33群多，数量多的三群必须都是一样的，否则就不是一少三多，问你怎样分？舟妹已唱出其中一种分法，即{3,99,99,99}\left\{ 3 , 99 , 99 , 99 \right\}，那么，所有分法的种数为（ ）
    1. A. 66
    2. B. 99
    3. C. 1010
    4. D. 1212
  8. 将一条均匀柔软的链条两端固定，在重力的作用下它所呈现的形状叫悬链线，例如悬索桥等。建立适当的直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式为f(x)=acosh⁡xaf ( x ) = a \cosh \frac{x}{a}，其中aa为悬链线系数，cosh⁡x\cosh x称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh⁡x=ex+e−x2\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sinh⁡x=ex−e−x2\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}。若直线x=mx = m与双曲余弦函数C1C_{1}和双曲正弦函数C2C_{2}分别相交于点AA，BB，曲线C1C_{1}在点AA处的切线与曲线C2C_{2}在点BB处的切线相交于点PP，则（ ）
    1. A. y=sinhcoshxxy = s i n h c o s h x x是偶函数
    2. B. cosh⁡(x+y)=coshxcosh⁡y−sinh⁡xsinh⁡y\cosh ( x + y ) = c o s h x \cosh y - \sinh x \sinh y
    3. C. ∣BP∣| B P |随mm的增大而减小
    4. D. △PAB\bigtriangleup P A B的面积随mm的增大而减小
  9. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸；十二地支即子､丑､寅､卯､辰､已､午､未､申､酉､戌､亥。天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推。已知 1949 年为“己丑”年，那么 2021 年时为（ ）
    1. A. 己亥年
    2. B. 戊申年
    3. C. 庚子年
    4. D. 辛丑年
  10. 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用。其定义黎曼函数R(x)R ( x )为：当x=qp(p,qx = \frac{q}{p} ( p , q为正整数，qp\frac{q}{p}是既约真分数）时R(x)=1pR ( x ) = \frac{1}{p}，当x=0x = 0或x=1x = 1或xx为[0,1][ 0 , 1 ]上的无理数时R(x)=0R ( x ) = 0。已知aa､bb､a+ba + b都是区间[0,1][ 0 , 1 ]内的实数，则下列不等式一定正确的是（ ）
    1. A. R(a+b)≥R(a)+R(b)R ( a + b ) \geq R ( a ) + R ( b )
    2. B. R(a⋅b)≥R(a)⋅R(b)R ( a \cdot b ) \geq R ( a ) \cdot R ( b )
    3. C. R(a+b)≤R(a)+R(b)R ( a + b ) \leq R ( a ) + R ( b )
    4. D. R(a⋅b)≤R(a)⋅R(b)R ( a \cdot b ) \leq R ( a ) \cdot R ( b )
  11. 《孙子算经》记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男､子､伯､侯､公，一共五级。现每个级别的诸侯分别有11，22，33，44，55人，按照如下规则给他们分发一批苹果：同一等级的诸侯所得苹果数依次为a1a_{1}，a2a_{2}，⋯\cdots，满足ak+1=ak+k(k∈N∗)a_{k + 1} = a_{k} + k \left( k \in N^{*} \right)，任一等级诸侯所得苹果数量最多的比高一级的诸侯所得苹果数最少的少一个。现已知等级为男的诸侯所得苹果数为11，则这批苹果共有（ ）个。
    1. A. 158158
    2. B. 159159
    3. C. 160160
    4. D. 161161
  12. 蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义，鞠最早系外包皮革､内实米糠的球。因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋､踢皮球的活动，类似今日的足球。2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录。3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）。过去常在模具制造､工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节､牙齿或一些飞机零部件等）。已知某鞠的表面上有四个点AA､BB､CC､DD，满足任意两点间的直线距离为2.6cm2 . 6 c m，现在利用 3D 打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCDA B C D组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为1g/cm31 g / c m^{3}，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（参考数据：取π=3.14\pi = 3 . 1 4，2=1.41\sqrt{2} = 1 . 4 1，3=1.73\sqrt{3} = 1 . 7 3，精确到0.10 . 1）
    1. A. 113.0g1 1 3 . 0 g
    2. B. 267.9g2 6 7 . 9 g
    3. C. 99.2g9 9 . 2 g
    4. D. 13.8g1 3 . 8 g
  13. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈Rx \in R，用[x][ x ]表示不超过xx的最大整数，则y=[x]y = [ x ]称为高斯函数，也称取整函数，例如：[−3.7]=−4[ - 3 . 7 ] = - 4，[2.3]=2[ 2 . 3 ] = 2。已知f(x)=exex+1−12f ( x ) = \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}，则函数y=2[f(x)]+[f(−x)]y = 2 \left\lbrack f ( x ) \right\rbrack + \left\lbrack f ( - x ) \right\rbrack的值域为（ ）
    1. A. {−2,−1,0}\left\{ - 2 , - 1 , 0 \right\}
    2. B. {−1,0}\left\{ - 1 , 0 \right\}
    3. C. {−2,0}\left\{ - 2 , 0 \right\}
    4. D. {−2,−1,0,1}\left\{ - 2 , - 1 , 0 , 1 \right\}
  14. 我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢。问：齐去长安多少里？（ ）
    1. A. 11251125
    2. B. 12501250
    3. C. 22502250
    4. D. 25002500
  15. 3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）。过去常在模具制造､工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节､牙齿或一些飞机零部件等）。已知利用 3D 打印技术制作如图所示的模型。该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为10.2cm1 0 . 2 c m，母线与底面所成角的正切值为2\sqrt{2}。打印所用原料密度为1g/cm31 g / c m^{3}，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取π=3.14\pi = 3 . 1 4，精确到0.10 . 1）
    1. A. 609.4g6 0 9 . 4 g
    2. B. 447.3g4 4 7 . 3 g
    3. C. 398.3g3 9 8 . 3 g
    4. D. 357.3g3 5 7 . 3 g
  16. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座77层塔共挂了381381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的22倍，则塔的底层共有灯（ ）
    1. A. 6464盏
    2. B. 128128盏
    3. C. 192192盏
    4. D. 256256盏
  17. 干支是天干（甲､乙､…､癸）和地支（子､丑､…､亥）的合称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法。如图是查找公历某年所对应干支的程序框图。例如公元20412041年，即输入N=2041N = 2041，执行该程序框图，运行相应的程序，输出x=58x = 58，从干支表中查出对应的干支为辛酉。我国古代杰出数学家秦九韶出生于公元12081208年，则该年所对应的干支为（ ）

六十干支表（部分）

5566778899
戊辰己巳庚午辛未壬申
56565757585859596060
己未庚申辛酉壬戌癸亥
- A. 戊辰
- B. 辛未
- C. 已巳
- D. 庚申
  1. 蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义，鞠最早系外包皮革､内实米糠的球。因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋､踢皮球的活动，类似今日的足球。2006 年 5 月 20 日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点AA､BB､CC､DD，满足AB=CD=5A B = C D = 5，BD=AC=6B D = A C = 6，AD=BC=7A D = B C = 7，则该鞠的表面积为（ ）
    1. A. 55π55 \pi
    2. B. 60π60 \pi
    3. C. 63π63 \pi
    4. D. 68π68 \pi
  2. 对于函数y=f(x)y = f ( x )与y=g(x)y = g ( x )，若存在x0x_{0}，使f(x0)=g(−x0)f \left( x_{0} \right) = g \left( - x_{0} \right)，则称M(x0,f(x0))M \left( x_{0} , f \left( x_{0} \right) \right)，N(−x0,g(−x0))N \left( - x_{0} , g \left( - x_{0} \right) \right)是函数f(x)f ( x )与g(x)g ( x )图象的一对“隐对称点”。已知函数f(x)=m(x+2)f ( x ) = m ( x + 2 )，g(x)=ln⁡(x−1)x−1g ( x ) = \frac{\ln ( x - 1 )}{x - 1}，函数f(x)f ( x )与g(x)g ( x )的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数mm的取值范围为（ ）
    1. A. (−1,0)( - 1 , 0 )
    2. B. (−∞,−1)( - \infty , - 1 )
    3. C. (0,1)∪(1,+∞)( 0 , 1 ) \cup ( 1 , + \infty )
    4. D. (−∞,−1)∪(−1,0)( - \infty , - 1 ) \cup ( - 1 , 0 )
  3. 十九世纪下半叶集合论的创立，莫定了现代数学的基础。著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1][ 0 , 1 ]均分为三段，去掉中间的区间段(13,23)\left( \frac{1}{3} , \frac{2}{3} \right)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间[0,13],[23,1]\left\lbrack 0 , \frac{1}{3} \right\rbrack , \left\lbrack \frac{2}{3} , 1 \right\rbrack分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段。操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”。若使去掉的各区间长度之和不小于45\frac{4}{5}，则需要操作的次数nn的最小值为（ ）参考数据：lg⁡2=0.3010\lg 2 = 0 . 3 0 1 0，lg⁡3=0.4771\lg 3 = 0 . 4 7 7 1
    1. A. 33
    2. B. 44
    3. C. 55
    4. D. 66
  4. 《周髀算经》中给出了：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论。已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别为10.51 0 . 5尺和9.59 . 5尺，现在从该地日影长小于99尺的节气中随机抽取22个节气进行日影长情况统计，则所选取这22个节气中恰好有11个节气的日影长小于55尺的概率为（ ）
    1. A. 37\frac{3}{7}
    2. B. 47\frac{4}{7}
    3. C. 1321\frac{13}{21}
    4. D. 57\frac{5}{7}
  5. 已知数列{an}\left\{ a_{n} \right\}的前nn项和为SnS_{n}，把{Sn}\left\{ S_{n} \right\}的前nn项和称为“和谐和”，用HnH_{n}来表示，对于an=3na_{n} = 3^{n}，其“和谐和”HnH_{n}等于（ ）
    1. A. 3n+2−6n−94\frac{3^{n + 2} - 6 n - 9}{4}
    2. B. 3n+1−6n−94\frac{3^{n + 1} - 6 n - 9}{4}
    3. C. 3n+1+6n−94\frac{3^{n + 1} + 6 n - 9}{4}
    4. D. 3n+6n−94\frac{3^{n} + 6 n - 9}{4}
  6. 我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法。先作一个半径为11的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正6×2n(n=1,2,⋯ )6 \times 2^{n} ( n = 1 , 2 , \cdots )边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”。现设单位圆OO的内接正nn边形的一边为ACA C，点BB为劣弧AC^\hat{A C}的中点，则BCB C是内接正2n2 n边形的一边，现记AC=SnA C = S_{n}，AB=S2nA B = S_{2 n}，则（ ）
    1. A. S2n=2−4−Sn2S_{2 n} = \sqrt{2 - \sqrt{4 - S_{n}^{2}}}
    2. B. S2n=2+4−Sn2S_{2 n} = \sqrt{2 + \sqrt{4 - S_{n}^{2}}}
    3. C. S2n=22+4−Sn2S_{2 n} = 2 \sqrt{2 + \sqrt{4 - S_{n}^{2}}}
    4. D. S2n=4−34−Sn2S_{2 n} = \sqrt{4 - 3 \sqrt{4 - S_{n}^{2}}}
  7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚88尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数最小为（ ）
    1. A. 22
    2. B. 33
    3. C. 44
    4. D. 55
  8. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题。《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边aa､bb､cc求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”若把以上这段文字写成公式，即S=14[c2a2−(c2+a2−b22)2]S = \sqrt{\frac{1}{4} \left\lbrack c^{2} a^{2} - \left( \frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2} \right)^{2} \right\rbrack}。现有周长为10+2710 + 2 \sqrt{7}的△ABC\bigtriangleup A B C满足sin⁡A:sinB:sinC=2:3:7\sin A : s i n B : s i n C = 2 : 3 : \sqrt{7}，则用以上给出的公式求得△ABC\bigtriangleup A B C的面积为（ ）
    1. A. 1212
    2. B. 878 \sqrt{7}
    3. C. 474 \sqrt{7}
    4. D. 636 \sqrt{3}
  9. 设bb､cc均为实数，关于xx的方程x2+b∣x∣+c=0x^{2} + b | x | + c = 0在复数集CC上给出下列结论，正确的是（ ）
    1. A. 存在bb､cc，使得该方程仅有22个共轭虚根
    2. B. 存在bb､cc，使得该方程有44个互不相等的实数根
    3. C. 存在bb、cc，使得该方程有55个互不相等的根
    4. D. 存在bb､cc，使得该方程最多有66个互不相等的根
  10. 一般地，若函数f(x)f ( x )的定义域为[a,b][ a , b ]，值域为[ka,kb][ k a , k b ]，则称[a,b][ a , b ]为f(x)f ( x )的“kk倍跟随区间”；若函数的定义域为[a,b][ a , b ]，值域也为[a,b][ a , b ]，则称[a,b][ a , b ]为f(x)f ( x )的“跟随区间”。下列结论正确的是（ ）
    1. A. 若[1,b][ 1 , b ]为f(x)=x2−2x+2f ( x ) = x^{2} - 2 x + 2的跟随区间，则b=2b = 2
    2. B. 函数f(x)=1+1xf ( x ) = 1 + \frac{1}{x}存在跟随区间
    3. C. 若函数f(x)=m−x+1f ( x ) = m - \sqrt{x + 1}存在跟随区间，则m∈(−14,0]m \in ( - \frac{1}{4} , 0 \rbrack
    4. D. 二次函数f(x)=−12x2+xf ( x ) = - \frac{1}{2} x^{2} + x存在“33倍跟随区间”
  11. 斐波那契数列，又称黄金分割数列，它在很多方面与大自然神奇地契合，小到地球上的动植物，如向日葵、松果、海螺的成长过程，大到海浪、飓风、宇宙星系演变，都遵循着这个规律，人们亲切地称斐波那契数列为自然界的“数学之美”，在数学上斐波那契数列{an}\left\{ a_{n} \right\}一般以递推的方式被定义：a1=a2=1a_{1} = a_{2} = 1，an+2=an+an+1a_{n + 2} = a_{n} + a_{n + 1}，则（ ）
    1. A. a10=55a_{10} = 55
    2. B. ∣anan+2−an+12∣=1\left| a_{n} a_{n + 2} - a_{n + 1}^{2} \right| = 1
    3. C. {an+1+5−12an}\left\{ a_{n + 1} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} a_{n} \right\}是等比数列
    4. D. 设bn=an+1anb_{n} = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}，则∣bn−bn+1∣<∣bn+1−bn+2∣\left| b_{n} - b_{n + 1} \right| < \left| b_{n + 1} - b_{n + 2} \right|
  12. 已知定义域为AA的函数f(x)f ( x )，若对任意的x1x_{1}，x2∈Ax_{2} \in A都有f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2)f \left( x_{1} + x_{2} \right) \leq f \left( x_{1} \right) + f \left( x_{2} \right)，则称函数f(x)f ( x )“定义域上的优美函数”。以下函数是“定义域上的优美函数”的有（ ）
    1. A. f(x)=x2+1,x∈[−12,12]f ( x ) = x^{2} + 1 , x \in \left\lbrack - \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right\rbrack
    2. B. f(x)=ex,x∈Rf ( x ) = e^{x} , x \in R
    3. C. f(x)=sinx,x∈[0,π]f ( x ) = s i n x , x \in [ 0 , \pi ]
    4. D. f(x)=log⁡3x,x∈[2,+∞)f ( x ) = \log_{3} x , x \in \lbrack 2 , + \infty )
  13. 若非零复数xx，yy满足x2+xy+y2=0x^{2} + x y + y^{2} = 0，则(xx+y)2020+(yx+y)2020\left( \frac{x}{x + y} \right)^{2020} + \left( \frac{y}{x + y} \right)^{2020}的值是
  14. 在复平面内，等腰直角三角形OZ1Z2O Z_{1} Z_{2}以OZ2O Z_{2}为斜边（其中oo为坐标原点），若z2z_{2}对应的复数z2=1+3iz_{2} = 1 + \sqrt{3} i，则直角顶点Z1Z_{1}对应的复数z1=z_{1} =
  15. (3i−1)2018=\left( \sqrt{3} i - 1 \right)^{2018} =
  16. 在下列命题中，正确的命题有________（填写正确的序号）
    1. (1) 若x>1x > 1，则x+4x−1+1x + \frac{4}{x - 1} + 1的最小值是66；
    2. (2) 如果不等式ax2+bx+2>0a x^{2} + b x + 2 > 0的解集是(−12,13)\left( - \frac{1}{2} , \frac{1}{3} \right)，那么a−b=−10a - b = - 10恒成立；
    3. (3) 设xx，y∈(0,+∞)y \in ( 0 , + \infty )且x+y=1x + y = 1，则x2+y2+xyx^{2} + y^{2} + x y的最小值是34\frac{3}{4}；
    4. (4) 对于任意m∈[12,3]m \in \left\lbrack \frac{1}{2} , 3 \right\rbrack，t2+mt>2m+4t^{2} + m t > 2 m + 4恒成立，则tt的取值范围是(−∞,−5)∪(2,+∞)( - \infty , - 5 ) \cup ( 2 , + \infty )；
    5. (5) “a=−2a = - 2”是“复数z=(a2−4)+(a+1)i(a∈R)z = \left( a^{2} - 4 \right) + ( a + 1 ) i ( a \in R )是纯虚数”的必要非充分条件；
    6. (6) 若xcos⁡3θ+ysin⁡3θ=ax \cos^{3} \theta + y \sin^{3} \theta = a，sin⁡θ−cos⁡θ=0\sin \theta - \cos \theta = 0，xya≠0x y a \neq 0，则必有1x2+1y2=1a2\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{a^{2}}。
  17. 已知函数f(x)=log⁡13(3x+1)+12abxf ( x ) = \log_{\frac{1}{3}} \left( 3^{x} + 1 \right) + \frac{1}{2} a b x为偶函数，g(x)=2x+a+b2xg ( x ) = 2^{x} + \frac{a + b}{2^{x}}为奇函数，其中aa､bb为常数，则(a+b)+(a2+b2)+(a3+b3)+⋯+(a100+b100)=( a + b ) + \left( a^{2} + b^{2} \right) + \left( a^{3} + b^{3} \right) + \cdots + \left( a^{100} + b^{100} \right) =
  18. 若复数zz满足∣z∣=2| z | = 2，则∣z+3∣+∣z−3∣| z + 3 | + | z - 3 |的取值范围是______
  19. 已知复数z1=cosx+2f(x)iz_{1} = c o s x + 2 f ( x ) i，z2=(3sin⁡x+cosx)+iz_{2} = \left( \sqrt{3} \sin x + c o s x \right) + i（x∈Rx \in R，ii为虚数单位），在复平面上，设复数z1z_{1}、z2z_{2}对应的点分别为Z1Z_{1}、Z2Z_{2}，若∠Z1OZ2=90∘\angle Z_{1} O Z_{2} = 90^{\circ}，其中oo是坐标原点，则函数f(x)f ( x )的最小正周期为
  20. 设复数z1=−1−iz_{1} = - 1 - i，z2=3+3iz_{2} = 3 + 3 i，若z=2sin⁡θ+i(2cos⁡θ+1)z = 2 \sin \theta + i \left( 2 \cos \theta + 1 \right)（θ∈R\theta \in R），则∣z−z1∣+∣z−z2∣| z - z_{1} | + | z - z_{2} |的最小值为
  21. 对于nn个复数z1z_{1}，z2z_{2}，…，znz_{n}，如果存在nn个不全为零的实数k1k_{1}，k2k_{2}，…，knk_{n}，使得k1z1+k2z2+⋯+knzn=0k_{1} z_{1} + k_{2} z_{2} + \cdots + k_{n} z_{n} = 0，就称z1z_{1}，z2z_{2}，…，znz_{n}线性相关。若要说明复数z1=1+2iz_{1} = 1 + 2 i，z2=1−iz_{2} = 1 - i，z3=−2z_{3} = - 2线性相关，则可取{k1,k2,k3}=\left\{ k_{1} , k_{2} , k_{3} \right\} =________。（只要写出满足条件的一组值即可）
  22. 复数z1=1−2iz_{1} = 1 - 2 i，z2=3z_{2} = 3，则∣z2−z1∣| z_{2} - z_{1} |的最大值是
  23. 已知复数z=3x−y+(3x+y)i(x,y∈R)z = \sqrt{3} x - y + \left( \sqrt{3} x + y \right) i ( x , y \in R )在复平面内对应的点位于第二象限，且x2+4y−15<0x^{2} + 4 y - 15 < 0，则复数x+yix + y i的模大于22的概率为
  24. 下列说法中正确的序号是
    1. (1) 2+i>1+i2 + i > 1 + i
    2. (2) 若一个数是实数，则其虚部不存在
    3. (3) 虚轴上的点表示的数都是纯虚数
    4. (4) 设z=1−iz = 1 - i（ii为虚数单位），若复数2z+z2\frac{2}{z} + z^{2}在复平面内对应的向量为OZ→\overset{\rightarrow}{O Z}，则向量OZ→\overset{\rightarrow}{O Z}的模是2\sqrt{2}
    5. (5) 若z=1iz = \frac{1}{i}，则z5+1z^{5} + 1对应的点在复平面内的第四象限。
  25. 对任意复数w1w_{1}，w2w_{2}，定义w1∗w2=w1w2‾w_{1} * w_{2} = w_{1} \overline{w_{2}}，其中w2‾\overline{w_{2}}是w2w_{2}的共轭复数。对任意复数z1z_{1}，z2z_{2}，z3z_{3}有如下四个命题：
    1. (1) (z1+z2)∗z3=(z1∗z3)+(z2∗z3)\left( z_{1} + z_{2} \right) * z_{3} = \left( z_{1} * z_{3} \right) + \left( z_{2} * z_{3} \right)；
    2. (2) z1∗(z2+z3)=(z1∗z2)+(z1∗z3)z_{1} * \left( z_{2} + z_{3} \right) = \left( z_{1} * z_{2} \right) + \left( z_{1} * z_{3} \right)；
    3. (3) (z1∗z2)∗z3=z1∗(z2∗z3)\left( z_{1} * z_{2} \right) * z_{3} = z_{1} * \left( z_{2} * z_{3} \right)；
    4. (4) z1∗z2=z2∗z1z_{1} * z_{2} = z_{2} * z_{1}。则真命题是________（填写命题的序号）
  26. 设z1z_{1}，z2z_{2}是复数，给出四个命题：
    1. (1) 若∣z1−z2∣=0| z_{1} - z_{2} | = 0，则z1‾=z2‾\overline{z_{1}} = \overline{z_{2}}；
    2. (2) 若z1=z2‾z_{1} = \overline{z_{2}}，则z1‾=z2\overline{z_{1}} = z_{2}；
    3. (3) 若z12=z22z_{1}^{2} = z_{2}^{2}，则z1⋅z1‾=z2⋅z2‾z_{1} \cdot \overline{z_{1}} = z_{2} \cdot \overline{z_{2}}；
    4. (4) 若∣z1∣=∣z2∣| z_{1} | = | z_{2} |，则z12=z22z_{1}^{2} = z_{2}^{2}。其中真命题的序号是
  27. 已知数列{an}\left\{ a_{n} \right\}是无穷等比数列，它的前nn项的和为SnS_{n}，该数列的首项是二项式(x+1x)7\left( x + \frac{1}{x} \right)^{7}展开式中的xx的系数，公比是复数z=11+3iz = \frac{1}{1 + \sqrt{3} i}的模，其中ii是虚数单位，则lim⁡n→∞Sn=⋯ .\lim_{n \rightarrow \infty} S_{n} = \cdots .
  28. 已知复数z=22a1+iz = \frac{2 \sqrt{2} a}{1 + i}，当a≥2a \geq 2时，∣z∣2+t∣z∣+4>0| z |^{2} + t | z | + 4 > 0恒成立，则实数的取值范围是
  29. 在实数集RR中，我们定义的大小关系“>>”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集CC上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“≻\succ”，定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1iz_{1} = a_{1} + b_{1} i，z2=a2+b2iz_{2} = a_{2} + b_{2} i（a1a_{1}，b1b_{1}，a2a_{2}，b2∈Rb_{2} \in R，ii为虚数单位），z1≻z2z_{1} \succ z_{2}当且仅当a1>a2a_{1} > a_{2}或a1=a2a_{1} = a_{2}且b1>b2b_{1} > b_{2}。下面命题①1≻i≻01 \succ i \succ 0；②若z1≻z2z_{1} \succ z_{2}，则z1+z2≻z2+z3z_{1} + z_{2} \succ z_{2} + z_{3}；③若z1≻z2z_{1} \succ z_{2}，则对于任意z∈Cz \in C，z1+z≻z2+zz_{1} + z \succ z_{2} + z；④对于复数z≻0z \succ 0，则z⋅z1>z⋅z2z \cdot z_{1} > z \cdot z_{2}。其中真命题是
  30. 为求方程x5−1=0x^{5} - 1 = 0的虚根，可以把原方程变形为(x−1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0( x - 1 ) \left( x^{2} + a x + 1 \right) \left( x^{2} + b x + 1 \right) = 0，由此可得原方程的一个虚根为
  31. 格点是指平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点。一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”（如：P(−2,1)P ( - 2 , 1 )，则点PP到原点的格点距离为2+1=32 + 1 = 3）。格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径。当格点半径为66时，格点圆的半径有______条（用数字作答）。
  32. 球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，AA，BB，CC是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为⏜AB\overset{A B}{⏜}，⏜BC\overset{B C}{⏜}，⏜CA\overset{C A}{⏜}，由这三条劣弧围成的图形称为球面△ABC\bigtriangleup A B C。已知地球半径为RR，北极为点NN，PP，QQ是地球表面上的两点。若PP，QQ在赤道上，且∣PQ∣=2R| P Q | = \sqrt{2} R，则球面△NPQ\bigtriangleup N P Q的面积为________；若NP=PQ=QN=263RN P = P Q = Q N = \frac{2 \sqrt{6}}{3} R，则球面△NPQ\bigtriangleup N P Q的面积为

B 0

  1. 《九章算术》是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉。《九章算术》卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ−ABCDP Q - A B C D，下底面ABCDA B C D是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQP Q的中点RR在底面ABCDA B C D上的投影为矩形ABCDA B C D的中心点OO，PQ∥ABP Q \parallel A B，AB=4A B = 4，AD=3A D = 3，PQ=2P Q = 2，OR=1O R = 1（长度单位：丈）。则楔体PQ−ABCDP Q - A B C D的体积为 （体积单位：立方丈）
  2. 当一个非空数集GG满足“如果a,b∈Ga , b \in G，则a+b,a−b,ab∈Ga + b , a - b , a b \in G且b≠0b \neq 0时，ab∈G\frac{a}{b} \in G”时，我们称GG就是一个数域，以下关于数域的命题：①00和11都是任何数域的元素；②若数域GG有非零元素，则2020∈G2020 \in G；③任何一个有限数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有
  3. 定义：如果函数f(x)f ( x )在[a,b][ a , b ]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)x_{1} , x_{2} \left( a < x_{1} < x_{2} < b \right)满足f′(x1)=f′(x2)=f(a)−f(b)a−bf ' \left( x_{1} \right) = f ' \left( x_{2} \right) = \frac{f ( a ) - f ( b )}{a - b}，则称数x1x_{1}，x2x_{2}为[a,b][ a , b ]上的“对望数”，函数f(x)f ( x )为[a,b][ a , b ]“对望函数”。给出下列四个命题：
    1. (1) 二次函数f(x)=x2+mx+nf ( x ) = x^{2} + m x + n在任意区间[a,b][ a , b ]上都不可能是“对望函数”；
    2. (2) 函数f(x)=13x3−x2+2f ( x ) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 2是[0,2][ 0 , 2 ]上的“对望函数”；
    3. (3) 函数f(x)=x+sinxf ( x ) = x + s i n x是[π6,11π6]\left\lbrack \frac{\pi}{6} , \frac{11 \pi}{6} \right\rbrack上的“对望函数”；
    4. (4) f(x)f ( x )为[a,b][ a , b ]上的“对望函数”，则f(x)f ( x )在[a,b][ a , b ]上不单调；其中正确命题的序号为________（填上所有正确命题的序号）
  4. 已知sin⁡t+cost=1\sin t + c o s t = 1，令S=cost+isin⁡tS = c o s t + i \sin t，f(S)=1+S+S2+⋯⋯+Snf ( S ) = 1 + S + S^{2} + \cdots \cdots + S^{n}，1≤n≤20201 \leq n \leq 2020，则所有的f(S)f ( S )中，虚部不为00的共有____________个；其中模最大的复数是

以下是文档中丢失图的地方：

1. 第42题，关于“双曲余弦函数”图象的选项，文档中说“下列选项为‘双曲余弦函数’图象的是”，但没有给出具体的选项图。

2. 第47题，关于“花花牌”的骨牌推测，文档中说“下图给出了四张‘骨牌’，请按此规律（自左向右）推测下一张‘骨牌’应该是”，但没有给出四张骨牌的图。

3. 第48题，关于数独的题目，文档中说“某选手在解决如图所示的标准数独题目时”，但没有给出数独的图。

4. 第49题，关于窗花与向量的结合的题目，文档中说“图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆o的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆o的直径，则\(\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{PN}\)的取值范围是”，但没有给出图一和图二。

5. 第65题，关于蹴鞠的题目，文档中说“蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴､踢､蹋的含义，鞠最早系外包皮革､内实米糠的球。因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋､踢皮球的活动，类似今日的足球。2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点A､B､C､D，满足AB = CD = 5，BD = AC = 6，AD = BC = 7，则该鞠的表面积为”，但没有给出蹴鞠的图。

6. 第66题，关于函数“隐对称点”的题目，文档中没有提到与图相关的内容，但根据题意，可能需要函数的图象来辅助理解。

7. 第68题，关于节气日影长的题目，文档中说“《周髀算经》中给出了：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二节气的日影长依次成等差数列的结论。已知某地立春与雨水两个节气的日影长分别为10.5尺和9.5尺，现在从该地日影长小于9尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于5尺的概率为”，但没有给出日影长等差数列的相关图。

8. 第70题，关于“刘徽割圆术”的题目，文档中说“现设单位圆O的内接正n边形的一边为AC，点B为劣弧\(\widehat{AC}\)的中点，则BC是内接正2n边形的一边，现记AC = \(S_n\)，AB = \(S_{2n}\)，则”，但没有给出相关的图形。

9. 第96题，关于球面几何学的题目，文档中说“球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A，B，C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为\(\overparen{AB}\)，\(\overparen{BC}\)，\(\overparen{CA}\)，由这三条劣弧围成的图形称为球面\(\triangle ABC\)。已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点。若P，Q在赤道上，且\(\vert PQ\vert = \sqrt{2}R\)，则球面\(\triangle NPQ\)的面积为________；若\(NP = PQ = QN = \frac{2\sqrt{6}}{3}R\)，则球面\(\triangle NPQ\)的面积为”，但没有给出球面\(\triangle ABC\)以及地球表面上P，Q两点的图。

本文作者:jshywb

本文链接:

版权声明:本博客所有文章除特别声明外，均采用 BY-NC-SA 许可协议。转载请注明出处！