第一章 极限与连续
1.1 函数极限
定义 1.1 (函数极限的 ε-δ 定义)
设函数 (x)$ 在点 $ 的某去心邻域内有定义。若存在常数 $，对于任意给定的 $varepsilon > 0$，总存在 $delta > 0$，使得当 bash < |x - x_0| < delta$ 时，有
81099|f(x) - A| < varepsilon81099
则称 $ 为函数 (x)$ 当 o x_0$ 时的极限。
定理 1.2 (极限的唯一性)
若 $lim_{x o x_0} f(x)$ 存在，则该极限值唯一。
证明
假设 $lim_{x o x_0} f(x) = A$ 且 $lim_{x o x_0} f(x) = B$，其中
eq B$。
取 $varepsilon = frac{|A-B|}{2} > 0$，则存在 $delta_1, delta_2 > 0$，使得当 bash < |x - x_0| < delta_1$ 时有 $|f(x) - A| < varepsilon$，当 bash < |x - x_0| < delta_2$ 时有 $|f(x) - B| < varepsilon$。
取 $delta = min{delta_1, delta_2}$，当 bash < |x - x_0| < delta$ 时：
81099|A - B| le |f(x) - A| + |f(x) - B| < 2varepsilon = |A - B|81099
矛盾，故 = B$。
例题 1.5
用 ε-δ 定义证明 $lim_{x o 2} (3x-1) = 5$。
解
对任意 $varepsilon > 0$，取 $delta = frac{varepsilon}{3}$，当 bash < |x - 2| < delta$ 时：
81099|f(x) - 5| = |3x - 1 - 5| = 3|x - 2| < 3delta = varepsilon81099
由定义，$lim_{x o 2} (3x-1) = 5$。
1.2 重要极限
性质 1.8 (第一个重要极限)
81099lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 181099
性质 1.9 (第二个重要极限)
81099lim_{x o infty} left(1 + frac{1}{x}
ight)^x = e81099
真题 (2019 数学一)
求极限 $lim_{x o 0} frac{e^x - 1 - x}{x^2}$。
解
使用洛必达法则：
81099lim_{x o 0} frac{e^x - 1 - x}{x^2} = lim_{x o 0} frac{e^x - 1}{2x} = lim_{x o 0} frac{e^x}{2} = frac{1}{2}81099
注
此题也可以使用泰勒展开：^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + o(x^2)$，代入即得。