四象生发演乾坤，加减乘除化万千
曲直方圆皆数理，数形结合启玄通
高三数学教研组 吴兵 |
运算四象演万象
四象衍化探幽微
逆向思维再出发
跳出框架探本质
设点 \( P(x, y) \) 在曲线 \( \sqrt{x^2+y^2}+\left|y-\frac{5}{2}\right|=\frac{7}{2} \) 上，求 \( x^2+2y^2-5y \) 的最小值。
本题以动态几何为背景，融合根式与绝对值运算，将距离约束转化为代数方程。需通过分域消元或不等式放缩揭示隐含关系，体现"四则运算重构几何本质"的深刻思想。
综上，最小值为 \( -\frac{1}{8} \)
\( \sqrt{x^2 + y^2} - \left|y - \frac{5}{2}\right| = \frac{7}{2} \)
\( \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{\left|y - \frac{5}{2}\right|} = \frac{7}{2} \)
\( \sqrt{x^2 + y^2} \cdot \left|y - \frac{5}{2}\right| = \frac{7}{2} \)
[2024年新课标 I卷 11题] 设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线 C的一部分。已知 C过坐标原点 0，曲线C满足：横坐标大于-2，到点 \( F(2,0) \) 的距离与到直线 \( x = a \ (a < 0) \) 的距离之积为4，则：
答案：ABD
点 \(P(x, y)\) 在曲线 \(\sqrt{x^2 + y^2} + |y - \frac{5}{2}| = \frac{7}{2}\) 上，求\(x^2 - 5y\) 的最小值。
当 \( y \geq \frac{5}{2}\) 时，\(x^2 = 36 - 12y \)，代入得 \( x^2 - 5y = 36 - 17y \)，在 \(y = 3 \) 时取最小值 -15
当\( y < \frac{5}{2} \) 时，\(x^2 = 2y + 1 \)，代入得\( x^2 - 5y = -3y + 1\)，在\( y = \frac{5}{2} \)时取最小值 -6.5
综上，最小值为 -15
注：本题也可以换元重构几何意义来解决。
点\(P(x, y)\) 在曲线\(x^2 + 2y^2 - 5y = 0\) 上，求 \(\sqrt{x^2 + y^2} + \left|y - \frac{5}{2}\right|\) 的最小值。
将原曲线方程进行换元，构建目标函数
从原曲线方程中解出一个变量，代入目标函数
思考：哪种方法更适合本题？为什么？
跳出框架探本质
探究以下曲线图像:
\[ \begin{aligned} &|x+y-1|+|y-1|=4\\ &|x+y-1|-|y-1|=4 \\ &\frac{|x+y-1|}{|y-1|}=4 \\ &|x+y-1|\cdot|y-1|=4 \end{aligned} \]
试题链接：已知曲线 C的方程为\(|x+y-1|\cdot|y-1|=4\)，点 P(x, y)在 C上，则下列说法正确的是()(多选)
A.曲线 C的渐近线为 \(y=1\) 和\(x+y-1=0\)
B.曲线 C上存在两点关于点(1,1)对称
C.点 P到直线\(x+y-1=0\) 的距离的最小值为 \(\frac{4}{\sqrt{2}+2}\)
D.曲线 C关于 \(y=(2-\sqrt{3})x+1\)对称
探究以下函数图像:
$$ \begin{aligned} y&=x+\sin x\\ y&=x-\sin x\\ y&=x\cdot\sin x\\ y&=\frac{\sin x}{x} \end{aligned} $$
试题链接：已知函数\(f(x)=x\sin x, x\in R\)，则下列说法正确的有()
解析：
对于 A，函数\(f(x)=x\sin x\) 的定义域为 R，定义域关于原点对称，又\(f(-x)=-x\sin(-x)=x\sin x=f(x)\)，所以 f(x)是偶函数，故 A正确；
对于 B，\(^{\prime}(x)=\sin x+x\cos x\)，设切点横坐标为 t，则切线方程为 \(y-t\sin t=(\sin t+t\cos t)(x-t)\)，因为切线过点(0,0)，所以\(-t \sin t=(\sin t+t \cos t)(-t)\)，即 \(t^2 \cos t=0\)，解得 \(t=0\) 或 \(\cos t=0\)，当 \(t=0\) 时，切线方程为\(y=0\)；当\(\cos t=0\) 时，\(\sin t=\pm 1\)，切线方程为 \(y=\pm x\)。故 B正确；
对于 C，当 \(\cos x=0\) 时，\(\sin x\neq 0, f^{\prime}(x)\neq 0\)，令 \(f^{\prime}(x)=0\Rightarrow -x=\tan x\)，作出函数 \(y=-x, y=\tan x\)的图象，由图可知方程\(-x=\tan x\) 在(0,3π)上有三个解，分别为\(x_1, x_2, x_3\)，
| x | \((0, x_1)\) | \(x_1\) | \((x_1, x_2)\) | \(x_2\) | \((x_2, x_3)\) | \(x_3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f^{\prime}(x)\) | + | 0 | - | 0 | + | 0 |
| \(f(x)\) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 |
所以 C正确;
对于D，数形结合可知任意两极值点的差都小于π，故 D错误;
四则运算如天地四时，循环不息。
明其道者，可破万象之局，见数理本源。
