解析式的优缺点
关系清楚、简洁，能明确变量间的对应规则。
抽象，变量的变化规律较为隐藏，需深入分析才能把握。
一、函数解析式的运用问题
一招一"式"（等量代换）
等量代换
以不变应万变
已知\( f(x) = 2x - 1 \)，则\( f(2x - 1) = \)______。
解答：\( f(2x - 1) = 2(2x - 1) - 1 = 4x - 3 \)。
已知\( f(x) = 2x - 1 \)，\( g(x) = x^2 \)，求\( f(g(x)) \)，\( g(f(x)) \)的解析式。
解答：
\( f(g(x)) = 2(x^2) - 1 = 2x^2 - 1 \)
\( g(f(x)) = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 \)
左右互搏（分段函数的运用）
分段函数要认清，分段讨论是关键
已知\( f(x) = \begin{cases} x^2 - x & x \leq 1 \\ x - 1 & x > 1 \end{cases} \)，若\( f(x) = 2 \)，则\( x = \)______。
解答：分两段讨论：
- 当\( x \leq 1 \)时，令\( x^2 - x = 2 \)，解得\( x = -1 \)（\( x = 2 \)舍去，因\( x \leq 1 \)）。
- 当\( x > 1 \)时，令\( x - 1 = 2 \)，解得\( x = 3 \)。
综上，\( x = -1 \)或\( x = 3 \)。
已知\( f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & x < 1 \\ \frac{1}{x} & x \geq 1 \end{cases} \)，则\( f(f(2)) = \)______。
解答：先求\( f(2) = \frac{1}{2} \)，再求\( f\left( \frac{1}{2} \right) = 2 \times \frac{1}{2} - 1 = 0 \)，故结果为\( 0 \)。
已知\( f(x) = \begin{cases} 2x & x > 0 \\ f(x + 1) & x \leq 0 \end{cases} \)，则\( f(-2025) = \)______（此招为连环套）。
解答：\( f(-2025) = f(-2024) =......=f(1) = 2 \times 1 = 2 \)。
有招有"式"（抓住函数特点求解）
抓住对方特点，一招致敌
已知\( f(2x) = 2x^2 \)，则\( f(1) = \)______。
解答：令\( 2x = 1 \)，即\( x = \frac{1}{2} \)，代入得\( f(1) = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \)。
已知\( f(x) = x + 4 \)，\( f(ax + b) = x + 10 \)，则\( a + b = \)______。
解答：由\( f(ax + b) = ax + b + 4 = x + 10 \)，得\( a = 1 \)，\( b = 6 \)，故\( a + b = 7 \)。
有无其他方法？无招有"式"（抽象函数与周期性、函数方程）
已知\( f(x + 1) = \frac{1}{f(x)} \)，\( f(1) = -5 \)，则\( f(f(5)) = \)______。
解答：可得\( f(x + 2) = f(x) \)（即周期为2），得\( f(5) = f(1) = -5 \)，\( f(f(5)) = f(-5) = f(1) = -5 \)。
已知\( f(xy) = f(x) + f(y) \)，则\( f\left( \frac{1}{x} \right) + f(x) = \)______。
解答：令\( xy = 1 \)，得\( f(1) = f(x) + f\left( \frac{1}{x} \right) \)，又\( f(1) = 0 \)，故结果为\( 0 \)。
二、函数解析式的求法问题
兵来将挡，水来土淹，独孤九剑，各有所长（针对不同类型题目选合适方法）
破"箭"式（直接法）
直接根据函数定义，结合分段函数定义域逐步代入求解。
已知\( f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases} \)，\( g(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & x > 0 \\ x^2 & x \leq 0 \end{cases} \)
- （1）当\( x \leq 0 \)时，\( f(g(x)) = (x^2)^2 = x^4 \)。
- （2）当\( x < 0 \)时，\( g[f(x)] = (-x^2)^2 = x^4 \)。
破"定"式（待定系数法）
函数类型已知时，设一般形式，代入条件求系数。
已知\( f(x) \)为一次函数，且\( f(f(x)) = 2x + 1 \)，求\( f(x) \)。
解答：设\( f(x) = kx + b \)，则\( f(f(x)) = k^2x + kb + b = 2x + 1 \)，解得\( k = \sqrt{2} \)，\( b = \sqrt{2} - 1 \)或\( k = -\sqrt{2} \)，\( b = -\sqrt{2} - 1 \)。
已知\( f(x) \)是二次函数，\( f(0) = 1 \)，\( f(x + 1) - f(x) = 2x \)，求\( f(x) \)。
解答：设\( f(x) = ax^2 + bx + 1 \)，展开\( f(x + 1) - f(x) = 2ax + a + b = 2x \)，解得\( a = 1 \)，\( b = -1 \)，故\( f(x) = x^2 - x + 1 \)。
破"逆"式（换元法）
步骤为"设\( t \)→反解\( x \)→代入→换元"。
已知\( f(x + 1) = x^2 - 2x \)，求\( f(x) \)。
解答：设\( t = x + 1 \)，则\( x = t - 1 \)，代入得\( f(t) = (t - 1)^2 - 2(t - 1) = t^2 - 4t + 3 \)，故\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)。
已知\( f\left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) = x \)，求\( f(x) \)。
解答：设\( t = \frac{1 - x}{1 + x} \)，反解\( x = \frac{1 - t}{1 + t} \)，代入得\( f(t) = \frac{1 - t}{1 + t} \)，故\( f(x) = \frac{1 - x}{1 + x} \)（\( x \neq -1 \)）。
破"快"式（配凑法）
强调观察能力，将解析式配凑成关于括号内整体的表达式。
已知\( f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x} \)（\( x \geq 0 \)），求\( f(x) \)。
解答：配凑得\( x + 2\sqrt{x} = (\sqrt{x} + 1)^2 - 1 \)，令\( t = \sqrt{x} + 1 \)（\( t \geq 1 \)），则\( f(t) = t^2 - 1 \)，故\( f(x) = x^2 - 1 \)（\( x \geq 1 \)）。
已知\( f\left( x - \frac{1}{x} \right) = x^2 + \frac{1}{x^2} \)，求\( f(x) \)。
解答：配凑得\( x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2 \)，故\( f(x) = x^2 + 2 \)。
破"无"式（解方程组法）
找孪生方程，合并消元求解。
已知\( 2f(x) + f\left( \frac{1}{x} \right) = -x \)（\( x \neq 0 \)），求\( f(x) \)。
解答：用\( \frac{1}{x} \)代换\( x \)得\( 2f\left( \frac{1}{x} \right) + f(x) = -\frac{1}{x} \)，联立方程消元得\( f(x) = -\frac{2x}{3} + \frac{1}{3x} \)（\( x \neq 0 \)）。
已知\( f(x) + xf(1 - x) = x \)，求\( f(x) \)。
解答：用\( 1 - x \)代换\( x \)得\( f(1 - x) + (1 - x)f(x) = 1 - x \)，联立消元得\( f(x) = \frac{x^2}{x^2 - x + 1} \)。