武林秘籍

求$ y = \frac{(x+1)^2}{x+1} - \sqrt{1-x} $的定义域

拆解：

• 分式部分：$ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $
• 根式部分：$ 1-x \geq 0 \implies x \leq 1 $
• 交集：$ x \leq 1 $且$ x \neq -1 $，即定义域为$ (-\infty, -1) \cup (-1, 1] $

求$ y = \frac{(x+1)^0}{|x| - x} $的定义域

拆解：

• 零次幂：$ x+1 \neq 0 \implies x \neq -1 $
• 分式分母：$ |x| - x \neq 0 \implies |x| \neq x \implies x < 0 $
• 交集：$ x < 0 $且$ x \neq -1 $，即定义域为$ (-\infty, -1) \cup (-1, 0) $

求$ y = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2} $的定义域

拆解：

• 第一个根式：$ x^2 - 1 \geq 0 \implies x \leq -1 $或$ x \geq 1 $
• 第二个根式：$ 1 - x^2 \geq 0 \implies -1 \leq x \leq 1 $
• 交集：$ x = -1 $或$ x = 1 $，即定义域为$ \{ -1, 1 \} $

求$ y = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} $的定义域

拆解：

• 内层分式：$ x \neq 0 $
• 外层分式：$ 1 + \frac{1}{x} \neq 0 \implies \frac{1}{x} \neq -1 \implies x \neq -1 $
• 交集：$ x \neq 0 $且$ x \neq -1 $，即定义域为$ (-\infty, -1) \cup (-1, 0) \cup (0, +\infty) $

已知$ f(x) $的定义域是$ [0, 2] $，求：

1. $ f(x+1) $的定义域

2. $ f(x^2) $的定义域