- 知识目标：深化分类讨论思想在函数应用中的理解；掌握因数学概念、参数变化、运算规则、图像特征触发的分类标准
- 能力目标：能综合运用多方法解题，灵活处理含参、复杂运算及图像分析等问题
- 素养目标：强化逻辑推理与创新思维，体会数学建模的实际价值
- 指数函数参数分类
- 导数运算中极值点的存在性讨论
多变量问题的分类整合
1. (苏教版必修一P107例2改编) 函数 $f(x)=\begin{cases} 2^x, & x\geq 2 \\ x+1, & x<2 \end{cases}$ 的值域为()
B. $[4,+\infty)$
C. $(-\infty, 3)\cup(3,+\infty)$
D. $\mathbb{R}$
解析： 分段讨论：
当 $x<2$ 时，$f(x)=x+1 \in (-\infty,3)$
当 $x\geq 2$ 时，$f(x)=2^x \geq 4$
故值域为 $(-\infty,3)\cup[4,+\infty)$，选A
2. (人教A版必修二P87.2改编) 若函数 $f(x)=x^2+(a-2)x+1$ 在区间(1,3)上单调，则a的取值范围为()
B. $[0,+\infty)$
C. $(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$
D. $(-\infty,-2]\cup[0,+\infty)$
解析： 二次函数单调性讨论：
对称轴 $x=-\frac{a-2}{2}$ 需满足：
① 单调递增：$-\frac{a-2}{2} \leq 1 \Rightarrow a \geq 0$
② 单调递减：$-\frac{a-2}{2} \geq 3 \Rightarrow a \leq -4$
故选A
例1 (2025盐城模考改编) 已知函数 $f(x)=\ln x - kx + k (k\in\mathbb{R})$，求 $f(x)$ 在[1,2]上的最小值
解析： 分类讨论：
1. 当 $k \leq 0$ 时，函数在[1,2]单调递增，最小值为 $f(1)=0$
2. 当 $0 < k < 1$ 时，需讨论极值点位置...
3. 当 $k \geq 1$ 时，函数在[1,2]单调递减，最小值为 $f(2)=\ln 2 - k$
例2 (2025武汉二月模拟) (多选)已知 $a>0$ 且 $a\neq e$，则函数 $f(x)=e^x - a\ln x$ 的图象可能是()
例3 (2025山东联考19改编) 已知函数 $f(x)=x(e^{x-1}-1)-a\ln x$ 有两个不同的零点，求实数a的取值范围
解析： 需要分类讨论a的不同取值对函数零点的影响...
- 掌握分类讨论的四种触发条件：概念、参数、运算、图像
- 培养"不重不漏"的分类思维
- 强化数形结合的分析方法