不等式章节复习课教学设计（苏教版必修一）

一、教材解析

本章作为高中数学的预备知识，以义务教育阶段“等式与方程”为基础，构建“不等关系”的研究体系，承担初高中数学衔接的核心任务，其内容框架与教学价值如下：

章节内容	核心目标	教学价值
3.1 不等式的基本性质	类比等式性质，归纳并证明不等式性质	全章理论基础，培养逻辑推理素养
3.2 基本不等式	探究几何背景、证明方法及最值应用	连接代数与几何，渗透数形结合思想
3.3 从函数观点看一元二次方程和不等式	用二次函数整合方程与不等式的关系	体现数学整体性，为后续函数学习铺垫

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》，本章通过“相等关系与不等关系”的对比，帮助学生完成：

学习心理过渡：从“具象解题”到“抽象建模”
学习方式转变：从“被动接受”到“主动探究”
知识技能准备：掌握不等式核心工具，服务后续函数、圆锥曲线学习

二、学情分析

维度	具体表现	教学应对策略
优势基础	1. 已掌握不等式基本性质、基本不等式及一元二次不等式解法； 2. 具备初步探究能力，能运用不等式解决简单问题； 3. 思维活跃，对现实情境中的数学问题兴趣较高。	设计开放性问题，引导自主构建知识体系
认知不足	1. 代数证明经验欠缺：难以正确运用性质证明新不等式； 2. 思想方法深化不足：对函数思想、数形结合思想理解套路化； 3. 结构把控薄弱：应用基本不等式时，难寻突破口且忽视取等条件。	1. 提供多维证明路径（作差法、分析法等）； 2. 用动态图像（GGB）具象化函数思想； 3. 归纳“一正二定三相等”口诀，强化结构分析。

三、教学目标

目标维度	具体内容	对应核心素养
知识与技能	1. 从现实情境抽象不等式，能用数、形两种角度证明； 2. 掌握基本不等式及推论，能求简单最值； 3. 用函数观点统一方程与不等式的关系。	数学抽象、数学运算
过程与方法	1. 经历“猜想—证明—探究”过程，体会多元解题路径； 2. 提炼类比、数形结合、转化与化归思想。	逻辑推理、直观想象
情感态度与价值观	1. 了解赵爽弦图、《几何原本》的数学文化价值； 2. 类比二元不等式提出n元猜想，培养创新意识； 3. 增强民族自豪感与数学探究热情。	数学文化、创新意识

四、教学重难点

类型	具体内容	突破策略
教学重点	1. 从现实情境抽象不等式并完成多维证明； 2. 用函数观点建立方程与不等式的联系； 3. 掌握基本不等式求最值的方法。	1. 以“接力跑情境”为载体，分步引导抽象与证明； 2. 用GGB动态展示二次函数与方程、不等式的关系； 3. 归纳“条件变形—结构匹配—取等验证”三步法。
教学难点	1. 代数证明的逻辑严谨性（如分析法的书写）； 2. 函数思想的深化（避免解题套路化）； 3. 基本不等式的结构识别与条件把控。	1. 提供证明模板，对比学生作业纠错； 2. 设计“静态不等式→动态函数”转化问题； 3. 用“错题案例”强化“一正二定三相等”的重要性。

五、教学方法与手段

教学方法

探究式教学法：以问题链驱动，引导学生“猜想—证明—推广”；
类比迁移法：从二元不等式类比到n元猜想，从基本不等式类比到柯西不等式；
合作学习法：小组讨论开放性问题（如n元推广），提升“四能”（发现、提出、分析、解决问题）。

教学手段

传统工具：板书梳理知识体系，突出思想方法主线；
现代技术：PPT呈现情境与问题，GGB动态展示函数图像，投影展示学生解题过程；
文化载体：播放赵爽弦图、《几何原本》相关视频，渗透数学文化。

六、教学过程设计（五环节）

环节1：创设情境——激发探究兴趣（5分钟）

情境引入：2025年江苏省城市足球联赛（苏超）火爆出圈，某单位举办接力跑活动：两人一队跑完1km，两种方案可选：

A方案：两人跑相等距离（各跑500m）；
B方案：两人跑相等时间。

设甲速度为 \(v_1\)，乙速度为 \(v_2\)（\(v_1 \neq v_2\)，均为正数），引导学生思考：

问题1：直觉判断，哪种方案总时间更短？

问题2：用含 \(v_1\)、\(v_2\) 的不等式表示你的猜想。

设计意图：从现实情境抽象不等关系，体现“数学源于生活”，为后续模型建立铺垫；渗透物理“路程-速度-时间”关系，实现学科融合。

环节2：模型建立——抽象数学关系（7分钟）

师生活动：

计算两种方案总时间：
- A方案总时间：\( t_A = \frac{500}{v_1} + \frac{500}{v_2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) \)（单位：小时）；
- B方案总时间：设时间为 \(t\)，则 \(v_1 t + v_2 t = 1 \Rightarrow t_B = \frac{1}{v_1 + v_2} \times 2?\)，等等 —— 实际上应为 \( t_B = \frac{1}{\frac{v_1 + v_2}{2}} = \frac{2}{v_1 + v_2} \)。
学生结合直觉猜想，得出不等式：
\[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) > \frac{2}{v_1 + v_2} \quad (v_1, v_2 > 0,\ v_1 \ne v_2) \]
简化变量：令 \(a = \frac{1}{v_1}, b = \frac{1}{v_2}\)，不等式变为 \(\frac{a+b}{2} > \frac{2ab}{a+b}\)，即 \(\sqrt{ab} < \frac{a+b}{2}\)（当 \(a \ne b\)）。

设计意图：完成“现实问题→数学模型→核心知识”的转化，让学生体会数学建模的完整过程。

环节3：模型证明——多维路径探究（10分钟）

问题3：如何证明 \[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) > \frac{2}{v_1 + v_2} \]（\(v_1, v_2 > 0\) 且 \(v_1 \ne v_2\)）？

师生活动：引导学生从代数、几何多角度证明，教师板书梳理：

证法1：作差法（代数本源）

计算： \[ t_A - t_B = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) - \frac{2}{v_1 + v_2} = \frac{(v_1 - v_2)^2}{2v_1 v_2 (v_1 + v_2)} > 0 \]

因 \(v_1, v_2 > 0\) 且 \(v_1 \ne v_2\)，故成立。

证法2：分析法（逻辑严谨）

要证： \[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}\right) > \frac{2}{v_1 + v_2} \]

只需证 \((v_1 + v_2)^2 > 4v_1 v_2\)，即 \((v_1 - v_2)^2 > 0\)，显然成立。

设计意图：代数与几何结合，揭示不等式本质，深化核心素养。

环节4：模型探究——深化思想方法（18分钟）

围绕核心不等式，设计四大探究模块：

探究1：函数统观之眼

探究1-1：比较 \(\frac{1}{x}\) 与 \(2x - 1\) 的大小？何时 \(\frac{1}{x} > 2x - 1\)？
探究1-2：若 \(-2 < x^2 + mx + n < 0\) 解集为 (2,4)，求 \(m,n\)？

探究2：思维跃动之桥

探究2-1：求 \(y = x + \frac{1}{x+1}\)（\(x > -1\)）最小值；
探究2-2：若 \(x>1,y>1,x+y=xy\)，求 \(x+y\) 最小值；
探究2-3：求 \(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{y-1}\) 最小值。

探究3：素养发展之阶

探究4：n元推广

猜想 n 元形式： \[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{v_i} > \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} v_i} \]

（调和平均数 < 算术平均数）

环节5：课堂小结——梳理体系与升华（5分钟）

师生共同梳理：

知识体系：以“不等关系”为核心，串联“不等式性质→基本不等式→函数观点”；
思想方法：类比、数形结合、转化与化归、从特殊到一般；
文化价值：赵爽弦图、《几何原本》体现数学的历史传承与文化底蕴。

设疑启思：如何用函数观点分析基本不等式？（为后续学习伏笔）

不等式章节复习课教学设计