苏教版高中数学必修第一册第三章 · 苏州工业园区星海实验高级中学
| 项目 | 内容 |
|---|---|
| 课题名称 | 不等式章节复习课（苏教版高中数学必修第一册第三章） |
| 授课对象 | 苏州工业园区星海实验高级中学高一学生 |
| 课时安排 | 1课时（45分钟） |
| 授课类型 | 章节复习课 |
| 教学工具 | PPT课件、几何画板（动态展示函数图像与方程/不等式关系）、板书 |
依据江苏省如东中学朱明明老师的"金字塔结构"理论，本章教学分为三个层级：
复习课并非"炒冷饭"，而是通过三大路径落实单元教学：
本章作为高中数学"预备知识"，承担初高中数学衔接的关键任务：
| 维度 | 具体表现 |
|---|---|
| 优势 |
1. 已初步掌握本章基础知识：会解一元二次不等式、能用基本不等式求简单最值 2. 思维活跃，具备一定的自主探究和逻辑推理能力 3. 基础扎实，能快速响应基础问题的解答 |
| 不足 |
1. 对概念本质理解不深：如"不等式性质的逻辑依据""函数观点联系方程与不等式的本质" 2. 知识呈碎片化：无法将"不等式性质、基本不等式、函数观点"串联成体系 3. 缺少整体观：难以从"数学整体性"角度理解知识间的内在联系 |
| 核心矛盾 | 已有的"解题技能"与欠缺的"知识建构能力、思想方法提炼能力"之间的矛盾 |
| 类型 | 内容 | 突破策略 |
|---|---|---|
| 教学重点 |
1. 建构不等式章节的知识体系，理解知识间的内在联系 2. 运用函数观点解决方程与不等式问题 |
1. 用"问题串"引导梳理，结合图表可视化知识逻辑 2. 用几何画板动态展示函数图像与方程根、不等式解集的对应关系 |
| 教学难点 | 理解"不等式基本性质、基本不等式、函数观点"三者的内在逻辑，突破知识碎片化 |
1. 设计"双线融合"的知识框架（明线：知识逻辑；暗线：思想方法） 2. 通过例题串联三大知识模块，强化联系 |
| 判别式Δ=b²-4ac | 方程ax²+bx+c=0的根 | 函数y=ax²+bx+c的图像 | 不等式ax²+bx+c>0的解集 |
|---|---|---|---|
| Δ>0 | 两个不等实根x₁| 与x轴交于(x₁,0),(x₂,0) |
(-∞,x₁)∪(x₂,+∞) |
|
| Δ=0 | 两个相等实根x₀ | 与x轴相切于(x₀,0) | (-∞,x₀)∪(x₀,+∞) |
| Δ<0 | 无实根 | 与x轴无交点 | R |
情境导入：展示数学家戴维·希尔伯特的名言："数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正在于各部分之间的联系。"
提问引导："同学们，我们已经学完不等式一章，你能说出本章有哪些知识吗？这些知识之间是孤立的，还是有内在联系的？"
设计意图：以名人名言激发兴趣，渗透"数学整体性"思想；直接点明本节课核心目标——梳理知识联系、建构知识体系，为后续环节铺垫。
核心任务：以"问题串"为载体，构建"知识逻辑线"与"数学思想线"双线体系
| 问题编号 | 问题内容 | 可视化呈现 |
|---|---|---|
| 问题1 | 本章研究了哪些内容？它们之间存在怎样的逻辑关系？ | 知识体系框架图（见知识体系部分） |
| 问题2 | 如何理解不等式的基本性质？它的推导依据是什么？有何作用？ |
不等式基本性质表： | 性质 | 内容 | 推导依据 | 作用 | |------|------|----------|------| | 1 | 若a>b，则b0⇨b-a<0） | 对称性 | | 2 | 若a>b，b>c，则a>c | 传递性（a-b>0，b-c>0⇨a-c>0） | 比较大小 | | 4 | 若a>b，c>0则ac>bc；c<0则ac |
| 问题3 | 基本不等式的"三种语言"（文字、符号、几何）是什么？应用时注意什么？ |
1. 符号语言：√(ab)≤(a+b)/2（a,b≥0，当且仅当a=b时取等） 2. 几何解释：半圆模型（见知识体系部分） 3. 注意点："一正、二定、三相等" |
| 问题4 | 如何用二次函数的观点统一认识一元二次方程与一元二次不等式？ | 二次函数、方程、不等式关系表（见知识体系部分） |
例题1：当x>-1时，证明不等式$\frac{4}{x+1} > 2 - x$。
作差：$\frac{4}{x+1} - (2 - x) = \frac{4 - (2-x)(x+1)}{x+1} = \frac{x^2 + 2}{x+1}$
∵ x > -1 ⇒ x+1 > 0，且 x²+2 > 0
∴ 差值 > 0，原不等式成立
要证：$\frac{4}{x+1} > 2 - x$
因 x+1 > 0，两边同乘得：4 > (2-x)(x+1)
展开得：4 > 2x + 2 - x² - x ⇒ x² + 2 > 0（恒真）
令 $f(x) = \frac{4}{x+1} + x - 2$，定义域 (-1, +∞)
求导：$f'(x) = -\frac{4}{(x+1)^2} + 1$
令导数为0：$(x+1)^2 = 4 ⇒ x=1 或 x=-3$（舍去负值）
在 x=1 处取极小值，f(1)=2+1-2=1>0，故整个区间 f(x)>0
设计意图：通过一题多解，串联"不等式性质、基本不等式、函数观点"三大模块，体会知识的关联性。
例题2：设m为实数，函数$y = x² - m x + 2$，请结合本章知识，提出至少2个有关"方程"或"不等式"的问题，并尝试解决。
方程x² - m x + 2 = 0有实根，求m的范围
解答：Δ = m² - 8 ≥ 0 ⇒ m ≥ 2√2 或 m ≤ -2√2（关联二次方程根的判别式）
不等式x² - m x + 2 > 0恒成立，求m的范围
解答：Δ = m² - 8 < 0 ⇒ -2√2 < m < 2√2（关联二次函数图像与不等式解集）
设计意图：通过开放性问题，让学生从"解题者"转变为"命题者"，提升"发现、提出、分析、解决问题"的能力，深化对知识逻辑的理解。
学生自主总结："通过本节课，你对不等式一章有了哪些新的认识？"（引导从"知识""方法""思想"三方面总结）
教师提炼核心思想：
提出问题："我们能用函数观点看基本不等式吗？比如设$f(x) = x + \frac{1}{x}$（x>0），它的最小值与基本不等式有何关系？"
设计意图：为后续"函数单调性与最值"学习铺垫，激发持续探究兴趣。