函数三要素之解析式篇

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解析式的优缺点

优点：关系清楚、简洁，能明确变量间的对应规则。

缺点：抽象，变量的变化规律较为隐藏，需深入分析才能把握。

一、函数解析式的运用问题

一招一“式”（等量代换）

心法：等量代换 口诀：以不变应万变

例题：已知$f(x) = 2x - 1$，则$f(2x - 1) =$______。 解答：$f(2x - 1) = 2(2x - 1) - 1 = 4x - 3$。 拓展：另一种写法$f(f(x))$，计算得$f(f(x)) = f(2x - 1) = 4x - 3$（与上题形式一致）。

变式：已知$f(x) = 2x - 1$，$g(x) = x^2$，求$f(g(x))$，$g(f(x))$的解析式。

解答：$f(g(x)) = 2(x^2) - 1 = 2x^2 - 1$

$g(f(x)) = (2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$

左右互搏（分段函数的运用）

心法：分段函数要认清，分段讨论是关键

例题：已知$f(x) = \begin{cases} x^2 - x & x \leq 1 \\ x - 1 & x > 1 \end{cases}$，若$f(x) = 2$，则$x =$______。

解答：分两段讨论：

当$x \leq 1$时，令$x^2 - x = 2$，解得$x = -1$（$x = 2$舍去，因$x \leq 1$）。

当$x > 1$时，令$x - 1 = 2$，解得$x = 3$。 综上，$x = -1$或$x = 3$。

变式1：已知$f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & x < 1 \\ \frac{1}{x} & x \geq 1 \end{cases}$，则$f(f(2)) =$______。

解答：先求$f(2) = \frac{1}{2}$，再求$f\left( \frac{1}{2} \right) = 2 \times \frac{1}{2} - 1 = 0$，故结果为$0$。

变式2：已知$f(x) = \begin{cases} 2x & x > 0 \\ f(x + 1) & x \leq 0 \end{cases}$，则$f(-2025) =$______（此招为连环套）。

解答：$f(-2025) = f(-2024) =......=f(1) = 2 \times 1 = 2$。

有招有“式”（抓住函数特点求解）

心法：抓住对方特点，一招致敌

例题：已知$f(2x) = 2x^2$，则$f(1) =$______。

解答：令$2x = 1$，即$x = \frac{1}{2}$，代入得$f(1) = 2 \times \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{2}$。

变式：已知$f(x) = x + 4$，$f(ax + b) = x + 10$，则$a + b =$______。

解答：由$f(ax + b) = ax + b + 4 = x + 10$，得$a = 1$，$b = 6$，故$a + b = 7$。 有无其他方法？

拓展（05年江苏高考题）：已知$a$、$b$为常数，$f(x) = x^2 + 4x + 3$，$f(ax + b) = x^2 + 10x + 24$，则$5a - b =$______。

无招有“式”（抽象函数与周期性、函数方程）

例题1：已知$f(x + 1) = \frac{1}{f(x)}$，$f(1) = -5$，则$f(f(5)) =$______。

解答：由$f(x + 2) = f(x)$（周期为2），得$f(5) = f(1) = -5$，$f(f(5)) = f(-5) = f(1) = -5$。

例题2：已知$f(xy) = f(x) + f(y)$，则$f\left( \frac{1}{x} \right) + f(x) =$______。

解答：令$xy = 1$，得$f(1) = f(x) + f\left( \frac{1}{x} \right)$，又$f(1) = 0$，故结果为$0$。

二、函数解析式的求法问题

心法：兵来将挡，水来土淹，独孤九剑，各有所长（针对不同类型题目选合适方法）

破“箭”式（直接法）

方法说明：直接根据函数定义，结合分段函数定义域逐步代入求解。

例题：已知$f(x) = \begin{cases} x^2 & x \geq 0 \\ -x^2 & x < 0 \end{cases}$，$g(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & x > 0 \\ x^2 & x \leq 0 \end{cases}$

• （1）当$x \leq 0$时，$f(g(x)) = (x^2)^2 = x^4$。

• （2）当$x < 0$时，$g[f(x)] = (-x^2)^2 = x^4$。

  拓展：完整的$g[f(x)]$需分$x > 0$、$x = 0$、$x < 0$讨论，结果为$g[f(x)] = \begin{cases} \frac{1}{x^2} & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ x^4 & x < 0 \end{cases}$。

破“定”式（待定系数法）

方法说明：函数类型已知时，设一般形式，代入条件求系数。

例题：已知$f(x)$为一次函数，且$f(f(x)) = 2x + 1$，求$f(x)$。

解答：设$f(x) = kx + b$，则$f(f(x)) = k^2x + kb + b = 2x + 1$，解得$k = \sqrt{2}$，$b = \sqrt{2} - 1$或$k = -\sqrt{2}$，$b = -\sqrt{2} - 1$。

变式：已知$f(x)$是二次函数，$f(0) = 1$，$f(x + 1) - f(x) = 2x$，求$f(x)$。

解答：设$f(x) = ax^2 + bx + 1$，展开$f(x + 1) - f(x) = 2ax + a + b = 2x$，解得$a = 1$，$b = -1$，故$f(x) = x^2 - x + 1$。

破“逆”式（换元法）

方法说明：步骤为“设$t$→反解$x$→代入→换元”。

例题：已知$f(x + 1) = x^2 - 2x$，求$f(x)$。

解答：设$t = x + 1$，则$x = t - 1$，代入得$f(t) = (t - 1)^2 - 2(t - 1) = t^2 - 4t + 3$，故$f(x) = x^2 - 4x + 3$。

变式：已知$f\left( \frac{1 - x}{1 + x} \right) = x$，求$f(x)$。

解答：设$t = \frac{1 - x}{1 + x}$，反解$x = \frac{1 - t}{1 + t}$，代入得$f(t) = \frac{1 - t}{1 + t}$，故$f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$（$x \neq -1$）。

破“快”式（配凑法）

方法说明：强调观察能力，将解析式配凑成关于括号内整体的表达式。

例题：已知$f(\sqrt{x} + 1) = x + 2\sqrt{x}$（$x \geq 0$），求$f(x)$。 解答：配凑得$x + 2\sqrt{x} = (\sqrt{x} + 1)^2 - 1$，令$t = \sqrt{x} + 1$（$t \geq 1$），则$f(t) = t^2 - 1$，故$f(x) = x^2 - 1$（$x \geq 1$）。 变式：已知$f\left( x - \frac{1}{x} \right) = x^2 + \frac{1}{x^2}$，求$f(x)$。 解答：配凑得$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left( x - \frac{1}{x} \right)^2 + 2$，故$f(x) = x^2 + 2$。

破“无”式（解方程组法）

方法说明：找孪生方程，合并消元求解。

例题：已知$2f(x) + f\left( \frac{1}{x} \right) = -x$（$x \neq 0$），求$f(x)$。

解答：用$\frac{1}{x}$代换$x$得$2f\left( \frac{1}{x} \right) + f(x) = -\frac{1}{x}$，联立方程消元得$f(x) = -\frac{2x}{3} + \frac{1}{3x}$（$x \neq 0$）。

变式：已知$f(x) + xf(1 - x) = x$，求$f(x)$。

解答：用$1 - x$代换$x$得$f(1 - x) + (1 - x)f(x) = 1 - x$，联立消元得$f(x) = \frac{x^2}{x^2 - x + 1}$。